可测函数关于测度的积分（定义与构造）

1. 积分概念的背景与动机
   在实变函数论中，可测函数关于测度的积分（通常指勒贝格积分）是分析学的核心工具。其动机源于黎曼积分的局限性：黎曼积分要求函数在区间上“足够连续”，且对函数振荡或奇点敏感。勒贝格积分通过将值域划分为小区间（而非定义域），对函数值接近的点的集合进行测量，从而能处理更广泛的函数类（如狄利克雷函数），且具有更优的收敛性质。

2. 可测函数积分的定义（循序渐进）

   • 简单函数的积分：
     若 \(\phi = \sum_{i=1}^{n} a_i \chi_{E_i}\) 是非负简单函数（其中 \(E_i\) 两两不交的可测集，\(a_i \geq 0\)），其积分为

\[ \int \phi \, d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(E_i). \]

 该定义直观反映了“函数值 × 测度”的加权和。

• 非负可测函数的积分：
  对任意非负可测函数 \(f\)，定义其积分为简单函数积分的上确界：

\[ \int f \, d\mu = \sup \left\{ \int \phi \, d\mu : 0 \leq \phi \leq f, \phi \text{为简单函数} \right\}. \]

此定义保证积分对函数单调性保持兼容（若 \(f \leq g\)，则 \(\int f \, d\mu \leq \int g \, d\mu\)）。

• 一般可测函数的积分：
  将 \(f\) 分解为正负部 \(f = f^+ - f^-\)，其中 \(f^+ = \max(f, 0)\)，\(f^- = -\min(f, 0)\)。若 \(\int f^+ \, d\mu\) 与 \(\int f^- \, d\mu\) 不同时为无穷大，则定义

\[ \int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu. \]

当两者均有限时，称 \(f\) 可积（即 \(f \in L^1(\mu)\)）。

3. 积分的核心性质
   • 线性性：若 \(f, g\) 可积，则对任意实数 \(a, b\)，有

\[ \int (af + bg) \, d\mu = a \int f \, d\mu + b \int g \, d\mu. \]

• 单调性：若 \(f \leq g\) 几乎处处，则 \(\int f \, d\mu \leq \int g \, d\mu\)。
• 可列可加性：若 \(\{E_n\}\) 为两两不交可测集，则

\[ \int_{\bigcup E_n} f \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{E_n} f \, d\mu. \]

4. 积分与极限的交换（关键定理）
   • 单调收敛定理：若 \(0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \cdots\) 为非负可测函数列，且 \(f_n \to f\) 几乎处处，则

\[ \lim_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu = \int f \, d\mu. \]

• 法图引理：对非负可测函数列 \(\{f_n\}\)，有

\[ \int \liminf_{n \to \infty} f_n \, d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu. \]

• 勒贝格控制收敛定理：若 \(|f_n| \leq g\)（\(g\) 可积），且 \(f_n \to f\) 几乎处处，则

\[ \lim_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu = \int f \, d\mu. \]

 这些定理确保了积分在极限操作下的稳定性，是勒贝格积分优于黎曼积分的核心体现。

5. 积分的构造意义
   勒贝格积分的定义本质是一种“从简单到复杂”的完备化过程：
   • 简单函数积分构成线性空间；
   • 通过上确界扩展至非负函数，保持单调性；
   • 通过正负分解处理变号函数，最终得到完备的积分理论。
     此构造使得积分对测度 \(\mu\) 具有普遍适应性（如勒贝格测度、概率测度等），为现代分析学提供了统一框架。