数学课程设计中的数学抽象阶梯构建

数学抽象阶梯构建是指在数学课程设计中，有意识、有层次地设计一系列学习活动，引导学生从一个相对具体、直观的认知水平，逐步攀升到更为抽象、形式化的数学理解水平。这个过程如同搭建一个阶梯，每一级台阶都建立在上一级的基础上，确保学生的思维能够平稳、连贯地发展。

1. 理解“数学抽象”与“阶梯”的核心理念

   • 数学抽象：指的是从具体的事物或情境中，抽取出其数量关系、空间形式或结构特性，并形成一般性数学概念、原理或模型的过程。例如，从数苹果的具体活动抽象出自然数的概念；从观察不同形状的窗户抽象出“矩形”的几何定义。
   • 阶梯：这个比喻强调抽象过程不是一蹴而就的跳跃，而应是循序渐进的。课程设计需要识别并搭建多个中间认知水平，每个水平都包含适度的新挑战，帮助学生逐步剥离具体背景，聚焦数学本质。

2. 构建数学抽象阶梯的基本原则
   构建有效的抽象阶梯，需要遵循几个关键原则：

   • 连续性：阶梯的各级之间应紧密衔接，后一级概念的理解必须以前一级概念为基础。避免出现认知断层。
   • 渐进性：抽象的“坡度”要适宜。每一步的抽象程度提升应是学生通过努力可以达到的，避免从“过于具体”直接跳到“过于抽象”。
   • 可逆性：设计应保证学生不仅能够“上升”（从具体到抽象），也能够“下降”（从抽象回到具体实例进行解释和应用）。这种双向流动有助于深化理解。
   • 活动导向：抽象过程应融入学生的操作、观察、讨论等活动中，让学生在行动和思考中亲身经历抽象的过程，而非被动接受现成的抽象结论。

3. 数学抽象阶梯的具体构建步骤（以“函数概念”为例）
   下面我们通过“函数概念”的学习，来具体说明如何搭建一个四级的抽象阶梯：

   • 第一级：具体实例与直观感知

     • 目标：让学生从大量熟悉的、有变化关系的现实情境中，感受“一个量随另一个量变化”的现象。
     • 课程活动设计：
       • 呈现多个实例：汽车行驶路程随时间变化；水箱水位随注水时间变化；购买商品总价随数量变化。
       • 引导学生用语言描述这些变化关系，如“当时间增加时，路程也在增加”。
       • 鼓励学生用图表（如简易折线图）、表格或手势来表征这些变化。
     • 此级重点：建立对变量间依赖关系的丰富感性认识，尚未引入正式的数学术语。

   • 第二级：初步抽象与模式识别

     • 目标：从具体情境中抽离出共同的“关系”模式，并用非正式的数学语言（如公式、图示）进行表达。
     • 课程活动设计：
       • 引导学生比较第一级的不同实例，发现其共性：都存在两个相互关联的变量，一个变量（自变量）取值确定后，另一个变量（因变量）的值也随之唯一确定。
       • 引导学生为这些关系寻找数学表达。例如，对于“路程、时间、速度”关系，引出 s = vt；对于表格数据，引导学生发现输入一个数，输出另一个数的对应规则。
       • 引入“输入-输出”的机器模型来形象化这种对应关系。
     • 此级重点：从具体背景中初步抽象出“对应关系”或“变化规则”的核心思想。

   • 第三级：形式化定义与符号引入

     • 目标：在前两级的基础上，正式引入函数的数学定义和标准符号系统。
     • 课程活动设计：
       • 明确给出函数的集合映射定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f为从A到B的一个函数。
       • 系统讲解函数符号 y = f(x)，定义域、值域等概念。
       • 将第二级中得到的各种关系（公式、表格、图示）用新的符号语言重新表述和解释，建立新旧知识联系。
     • 此级重点：将初步抽象出的关系模式，提升到严谨的数学符号和语言层面。

   • 第四级：概念深化与灵活应用

     • 目标：深化对函数本质的理解，并能在更复杂、陌生的情境中识别、应用和创造函数模型。
     • 课程活动设计：
       • 讨论函数的多种表征方式（解析式、图像、表格、语言描述）及其相互转换。
       • 引入不同类型的函数（一次、二次、指数、三角函数），分析其共性（都符合函数定义）与特性（不同的变化规律）。
       • 设计问题，要求学生判断某个给定对应是否为函数。
       • 提出开放性问题，让学生基于实际情境自主建立函数模型。
     • 此级重点：脱离最初的具体实例背景，在抽象的数学概念层面进行操弄、推理和应用，实现思维的真正抽象化。

通过这样逐级搭建的抽象阶梯，学生能够踏实地、有理解地完成从生活经验到高度抽象的数学函数概念的跨越，有效避免了因抽象跨度太大而导致的思维困难和机械学习。