遍历理论中的马尔可夫过程与热力学形式主义 1. 基本动机：从统计物理到动力系统 在统计物理中，热力学形式主义旨在通过吉布斯测度描述宏观系统的平衡态，其核心思想是将系统的能量函数（哈密顿量）与概率分布相关联。遍历理论将这一框架推广到更一般的动力系统中：若系统具有某种“能量函数”（通常由势函数描述），能否构造一个与动力学相容的测度，使其类似于统计物理中的平衡态？马尔可夫过程为此提供了桥梁，因为其转移概率可视为“局部能量”的指数函数。 2. 势函数与转移算子 考虑一个有限状态空间 \( S \) 上的马尔可夫链，其转移概率 \( P(x, y) \) 由势函数 \( \phi: S \to \mathbb{R} \) 决定： \[ P(x, y) = \frac{e^{\phi(y)}}{Z(x)}, \quad Z(x) = \sum_ {y \in S} e^{\phi(y)} \] 其中 \( Z(x) \) 是配分函数，确保概率归一化。这种形式与吉布斯测度的局部条件概率一致。在更一般的拓扑动力系统（如符号动力系统）中，势函数 \( \phi \) 定义在系统的轨道空间上，转移算子（Ruelle算子）定义为： \[ (L_ \phi f)(x) = \sum_ {y: T(y)=x} e^{\phi(y)} f(y) \] 其中 \( T \) 为动力系统的映射。该算子的最大特征值对应系统的自由能，特征向量给出均衡测度。 3. 吉布斯测度的存在性与唯一性 通过Ruelle-Perron-Frobenius定理，若势函数 \( \phi \) 满足一定的正则性条件（如Hölder连续性），则转移算子 \( L_ \phi \) 有单最大特征值 \( \lambda \)，对应正特征函数 \( h \)。此时，吉布斯测度 \( \mu \) 可构造为： \[ \mu = h \nu \] 其中 \( \nu \) 是 \( L_ \phi \) 的共轭算子的特征测度。该测度满足变分原理：它最大化“压力” \( P(\phi) = \sup_ {\mu} \left( h_ \mu(T) + \int \phi \, d\mu \right) \)，其中 \( h_ \mu(T) \) 为测度熵。 4. 热力学极限与大偏差 当系统规模趋于无穷（如空间扩展系统的热力学极限），吉布斯测度描述了典型平衡态。其与大偏差理论紧密相关：系统偏离平衡态的概率呈指数衰减，速率函数由压力函数的勒让德变换给出。例如，在马尔可夫链中，经验分布的涨落满足大偏差原理，速率函数为相对熵（Kullback-Leibler散度）。 5. 应用：相变与非唯一性 若势函数不满足正则性条件（如长程相互作用），吉布斯测度可能不唯一，对应统计物理中的相变。遍历理论通过分析转移算子的谱结构来研究此类现象：若最大特征值退化，则存在多个均衡测度，系统在不同初始条件下收敛到不同的平衡态。 6. 与遍历层次结构的联系 热力学形式主义将动力系统按复杂性分类：正压系统（势函数为常数）对应零熵系统，而非平凡势函数对应非均匀的遍历行为。例如，在双曲系统中，吉布斯测度可描述混沌轨道在相空间的分布，其熵与李雅普诺夫指数满足Pesin公式。