好的，我们开始学习一个新的几何词条。 曲面的平均曲率 我们先从一个你熟悉的概念——曲面的高斯曲率——入手。高斯曲率描述的是曲面在一点处内在的弯曲程度，它由两个主曲率（k1 和 k2）的乘积来定义：K = k1 * k2。高斯曲率的一个关键特性是，它只依赖于曲面的第一基本形式，因此在等距变换（如将一张纸弯曲）下保持不变。 现在，我们引入 平均曲率 H 。它的定义是两个主曲率的算术平均值： H = (k1 + k2) / 2 与高斯曲率描述曲面“内在”弯曲性质不同，平均曲率描述的是曲面在空间中“外在”的弯曲形态，或者说它衡量的是曲面在一点处倾向于向哪一侧“弯曲”的平均程度。 第一步：理解平均曲率的直观意义 想象一个曲面在某一点 P 的情况。过 P 点有无数条法线（垂直于切平面的直线）。在这些法线所构成的平面与曲面相交得到的平面曲线中，存在两条相互垂直的曲线，它们的曲率分别达到最大值和最小值，这就是主曲率 k1 和 k2。 如果曲面在 P 点像球面一样向同一侧凸起，那么 k1 和 k2 都是正数（对于球的外侧而言），它们的平均值 H 也是正数。 如果曲面在 P 点像马鞍面一样，沿一个方向向上弯曲，沿另一个方向向下弯曲，那么 k1 和 k2 符号相反。它们的平均值 H 可能为正、为负或为零，这取决于弯曲的剧烈程度。 一个特别重要的情形是当 H = 0 时。这意味着两个主曲率大小相等，符号相反（k1 = -k2）。从直观上看，曲面在该点沿一个方向的“凸出”程度恰好被另一个垂直方向的“凹陷”程度所抵消，使得整体的“平均弯曲”为零。 第二步：平均曲率与极小曲面 满足平均曲率 H 在曲面上所有点都恒等于零的曲面，被称为 极小曲面 。 “极小”这个名字容易引起误解。它并非指面积最小，而是指“平稳”或“临界”。更准确地说，如果一个曲面是某个面积的“临界点”（即对其边界做任何微小的扰动，面积的一阶变分为零），那么它一定是平均曲率 H ≡ 0 的极小曲面。肥皂膜就是最经典的例子：当金属丝框浸入肥皂液后，形成的皂膜在表面张力作用下，会自然形成一个使其表面积能（可近似视为面积）趋于稳定的形状，这个形状就是平均曲率处处为零的极小曲面。 因此，平均曲率 H 可以看作是使曲面面积发生变化的“驱动力”。非零的平均曲率意味着曲面有改变形状以缩小其表面积的趋势。 第三步：平均曲率的计算 在实际计算中，我们通常不直接通过寻找主曲率来计算 H，而是使用更通用的公式。对于一个由参数方程 r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) 给出的曲面，平均曲率 H 可以通过曲面的第一基本形式（系数 E, F, G）和第二基本形式（系数 L, M, N）的系数来表示： H = (EN - 2FM + GL) / (2(EG - F²)) 这个公式虽然看起来复杂，但它提供了直接从曲面的参数方程计算平均曲率的系统方法。分母 (EG - F²) 是第一基本形式的行列式，总是为正。 第四步：举例说明 平面 ：过平面上任意一点，任何法截线的曲率都是 0。因此，主曲率 k1 = k2 = 0。平均曲率 H = (0 + 0)/2 = 0。平面是最简单的极小曲面。 圆柱面 ：考虑一个半径为 R 的圆柱面。过其上一点，两条主曲率对应的曲线分别是：平行于母线的直线（曲率 k1 = 0）和垂直于母线的圆（曲率 k2 = 1/R）。因此，平均曲率 H = (0 + 1/R)/2 = 1/(2R)。这是一个常数，且始终为正。 球面 ：半径为 R 的球面，过其表面任意一点，所有法截线都是半径为 R 的大圆，曲率为 1/R。因此，主曲率 k1 = k2 = 1/R。平均曲率 H = (1/R + 1/R)/2 = 1/R。 通过以上步骤，我们从平均曲率的定义出发，理解了其直观意义，认识了它与极小曲面的深刻联系，并学会了如何进行计算和简单应用。平均曲率与高斯曲率一起，构成了描述曲面局部几何形态的两个最核心的几何不变量。