复变函数的共形映射与调和函数关系 1. 基本概念回顾 共形映射 是复变函数中保持角度和局部形状的解析函数（除零点外）。若 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内解析且 \( f'(z) \neq 0 \)，则 \( f \) 是共形映射。 调和函数 是满足拉普拉斯方程 \( \Delta u = 0 \) 的实函数，在复分析中与解析函数的实部或虚部密切相关。 2. 调和函数与共形映射的关联 若 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) 解析，则 \( u \) 和 \( v \) 均为调和函数。共形映射的关键性质是： 调和函数的保持性 ：若 \( u \) 是区域 \( D \) 上的调和函数，\( f: D \to D' \) 是共形映射，则复合函数 \( u \circ f^{-1} \) 是 \( D' \) 上的调和函数。 证明思路：通过链式法则和柯西-黎曼方程，验证 \( \Delta(u \circ f^{-1}) = 0 \)。 3. 调和函数的变换公式 设 \( w = f(z) \) 是共形映射，\( U(w) \) 是 \( D' \) 上的调和函数。则 \( u(z) = U(f(z)) \) 在 \( D \) 上调和，且满足： \[ \Delta_ z u = |f'(z)|^2 \Delta_ w U = 0, \] 其中 \( \Delta_ z \) 和 \( \Delta_ w \) 分别表示 \( z \) 和 \( w \) 平面上的拉普拉斯算子。这一公式说明共形映射不改变调和性，但会缩放拉普拉斯算子的值。 4. 应用：狄利克雷问题的求解 共形映射可将复杂区域的狄利克雷问题转化为简单区域（如圆盘）的问题： 找到共形映射 \( f: D \to \mathbb{D} \)（单位圆盘）； 在 \( \mathbb{D} \) 上求解调和函数 \( U \)，满足边界条件； 通过 \( u(z) = U(f(z)) \) 得到原问题的解。 示例 ：半平面到圆盘的映射 \( w = \frac{z-i}{z+i} \) 可将上半平面的调和函数问题转化为圆盘问题。 5. 共形映射与调和测度 调和测度是边界对内部点影响的量化。若 \( D \) 是区域，\( E \subset \partial D \)，则调和测度 \( \omega(z, E, D) \) 表示以 \( E \) 为边界条件（值为1）的狄利克雷问题的解。共形映射下，调和测度满足不变性： \[ \omega(z, E, D) = \omega(f(z), f(E), f(D)). \] 这一性质在复杂边界问题的简化中尤为重要。 6. 数值方法与实际意义 共形映射与调和函数的结合广泛应用于物理问题（如静电势、流体力学）： 通过施瓦茨-克里斯托费尔变换将多边形区域映射到上半平面，再求解拉普拉斯方程； 在工程中，利用共形映射简化散热或电场分布模型。 总结 共形映射与调和函数的关系体现了复分析的几何与解析统一性：既保留了调和函数的性质，又通过几何变换简化问题。这一理论为偏微分方程、几何函数论及实际应用提供了核心工具。