二次型的自守L函数的p进L函数 1. p进数与p进分析回顾 首先，我们回顾p进数的概念。对于一个固定的素数p，任何非零有理数都可以唯一地写成 \( a = p^v \cdot \frac{m}{n} \)，其中m和n是与p互质的整数。p进绝对值定义为 \( |a|_ p = p^{-v} \)，而p进距离则为 \( d_ p(a, b) = |a-b|_ p \)。有理数集Q在这种度量下的完备化就是p进数域 \( \mathbb{Q}_ p \)。p进分析是在这个域上发展的分析学，其中函数的连续性和可微性等概念依赖于p进度量。 2. L函数的p进插值 经典L函数（如狄利克雷L函数）是复变量s的函数，在全平面或有界区域内解析（除可能的极点外）。p进插值问题旨在寻找一个p进解析函数（即p进变量s_ p的函数），使其在特定整数点上的值与经典L函数在这些点上的值（模去一个明确的因子）一致。这些整数点称为插值点。插值的意义在于，它允许我们使用p进分析的工具来研究L函数的算术性质，特别是与模p或p进域相关的性质。 3. 二次型的自守L函数 对于一个与二次型相关联的自守形式（例如，一个模形式或更一般的自守形式），其自守L函数可以通过一个Dirichlet级数定义： \( L(s, f) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{a_ n}{n^s} \)，其中a_ n是自守形式的傅里叶系数。这个L函数具有解析延拓和函数方程。当这个自守形式与某个二次型紧密相关时（例如，通过Theta对应），其L函数蕴含了该二次型表示数的算术信息。 4. p进L函数的构造方法 为二次型的自守L函数构造p进L函数，通常涉及以下深入步骤： 选择素数p ：首先需要选择一个素数p，使得自守形式及其相关表示在p处是“好约化”的（例如，非分歧的）。 模p符号计算 ：利用模p的算术几何或表示论，构造一个与原始自守形式相关的p进对象（例如，一个p进模形式或一个伽罗瓦表示）。 p进插值 ：通过p进分布或p进积分（如马祖尔-基特林p进测度）来构造一个p进解析函数。这个函数在插值点（通常是整数）的值，与原始自守L函数在对应点的特殊值（乘以一个欧拉因子和周期因子）相关联。关键是要证明这个插值函数是p进解析的。 5. p进L函数的性质与意义 构造出的p进L函数 \( L_ p(s, f) \) 具有以下重要性质： p进解析性 ：它是p进变量s_ p的p进解析函数（或有理函数）。 插值性质 ：对于所有插值点（例如，临界整数），有 \( L_ p(k, f) = \mathcal{E}_ p(k) \cdot L(k, f) / \Omega \)，其中 \( \mathcal{E}_ p(k) \) 是一个明确的p进欧拉因子，Ω是一个周期。 算术应用 ：p进L函数是研究BSD猜想（当f关联于椭圆曲线时）和岩泽理论的重要工具。其p进导数的值（在s=1处）与算术对象的阶（如椭圆曲线有理点的秩）猜想有关。 函数方程 ：p进L函数通常也满足一个p进版本函数方程，反映了原始L函数方程的非阿基米德类比。 6. 与朗兰兹纲领的联系 在朗兰兹纲领的p进方面，p进L函数被视为伽罗瓦表示的p进实现的一部分。它们与p进自守形式的傅里叶系数以及p进簇的算术性质深刻相关。p进L函数的构造和性质为理解模形式、伽罗瓦表示和p进数域上的代数簇之间的深层联系提供了关键证据。