狄利克雷卷积 狄利克雷卷积是数论中一种重要的二元运算，它定义在算术函数（即定义在正整数集上的复值函数）之间。这种运算不仅简洁优美，而且能深刻揭示算术函数之间的内在联系。 1. 算术函数的基本概念 算术函数是指从正整数集 \(\mathbb{Z}^+\) 到复数集 \(\mathbb{C}\) 的函数，例如： 除数函数 \(d(n)\)：表示 \(n\) 的正因子个数。 欧拉函数 \(\varphi(n)\)：表示不超过 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数个数。 莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)：当 \(n\) 有平方因子时为 \(0\)；否则为 \((-1)^k\)，其中 \(k\) 是 \(n\) 的质因数个数。 所有算术函数构成的集合在点加（逐点相加）和数乘下构成一个向量空间。 2. 狄利克雷卷积的定义 设 \(f\) 和 \(g\) 为两个算术函数，它们的狄利克雷卷积 \(h = f * g\) 定义为： \[ h(n) = (f * g)(n) = \sum_ {d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right) \] 其中求和遍及 \(n\) 的所有正因子 \(d\)。 例如，若 \(f(n) = 1\)（常值函数）和 \(g(n) = 1\)，则 \((f * g)(n) = \sum_ {d \mid n} 1 = d(n)\)，即除数函数。 3. 卷积的代数性质 交换律 ：\(f * g = g * f\)（因求和指标 \(d\) 和 \(n/d\) 对称）。 结合律 ：\((f * g) * h = f * (g * h)\)（可通过重排求和顺序证明）。 单位元 ：定义函数 \(\varepsilon(n)\) 满足 \(\varepsilon(1) = 1\) 且 \(\varepsilon(n) = 0\)（当 \(n > 1\)），则对任意 \(f\)，有 \(f * \varepsilon = \varepsilon * f = f\)。 分配律 ：\(f * (g + h) = f * g + f * h\)（点加与卷积兼容）。 这些性质表明，所有算术函数在狄利克雷卷积下构成一个 交换环 ，称为狄利克雷环。 4. 逆元与可逆性 若存在函数 \(g\) 使得 \(f * g = \varepsilon\)，则称 \(g\) 是 \(f\) 的狄利克雷逆元，记作 \(f^{-1}\)。 可逆性判定 ：\(f\) 可逆当且仅当 \(f(1) \neq 0\)。此时逆元可由递推公式构造： \[ f^{-1}(1) = \frac{1}{f(1)}, \quad f^{-1}(n) = -\frac{1}{f(1)} \sum_ {\substack{d \mid n \\ d < n}} f\left(\frac{n}{d}\right) f^{-1}(d) \quad (n > 1). \] 例如，常值函数 \(1(n) = 1\) 的逆元是莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)，即 \(1 * \mu = \varepsilon\)。 5. 积性函数的卷积性质 若 \(f\) 和 \(g\) 是积性函数（即当 \(\gcd(m, n) = 1\) 时，\(f(mn) = f(m)f(n)\)），则它们的卷积 \(f * g\) 也是积性函数。 特别地，所有积性函数在狄利克雷卷积下构成一个 子环 。这一性质极大简化了积性函数的计算，因为只需研究其在质数幂上的值。 6. 与狄利克雷级数的关联 算术函数 \(f\) 的狄利克雷级数为 \(F(s) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}\)（其中 \(s\) 为复变量）。 狄利克雷卷积对应级数的乘积：若 \(h = f * g\)，则 \(H(s) = F(s) G(s)\)。这一对应是研究解析数论中L函数的基础。 7. 应用示例 欧拉函数公式 ：\(\varphi = \mu * \mathrm{id}\)（其中 \(\mathrm{id}(n) = n\)），即 \(\varphi(n) = \sum_ {d \mid n} \mu(d) \frac{n}{d}\)。 除数函数恒等式 ：\(d = 1 * 1\)，\(\sigma = 1 * \mathrm{id}\)（其中 \(\sigma(n)\) 为因子和函数）。 莫比乌斯反演公式 ：若 \(g = f * 1\)，则 \(f = g * \mu\)。这为解决组合计数问题提供了有力工具。 狄利克雷卷积将算术函数的复杂关系转化为简洁的代数操作，是连接初等数论与解析数论的重要桥梁。