曲面的主曲率与主方向 我们先从曲面的基本几何量开始。一个光滑曲面在任意一点附近都可以用它的切平面来近似。然而，曲面在这一点是如何弯曲的，则需要更精细的量来描述，这就是曲率。 法曲率的概念 在曲面上某一点P，过P点有无数条位于曲面上的曲线。要研究曲面在P点的弯曲程度，一个有效的方法是研究这些曲线在P点的曲率。但是，这些曲线的曲率各不相同，我们需要一个统一的参考标准。这个标准就是曲面的 法向量 （垂直于切平面的向量）。 具体做法是：考虑一个包含P点法向量的平面（称为 法截面 ），这个平面与曲面相交，得到一条平面曲线（称为 法截线 ）。这条法截线在P点的曲率，就定义为曲面在P点沿这个法截面方向的 法曲率 。 法曲率是一个带符号的量：通常规定，如果法截线向法向量的方向弯曲，则法曲率为正；反之则为负。 主曲率的发现 当我们让法截面绕着P点的法向量旋转时，对应的法曲率会连续变化。一个重要的定理（欧拉定理）指出：在所有这些法曲率中，存在一个最大值 \( k_ 1 \) 和一个最小值 \( k_ 2 \)。这两个极值的法曲率，就称为曲面在P点的 主曲率 。 对应于这两个主曲率的法截面方向，是相互垂直的。这两个方向就称为曲面在P点的 主方向 。 主曲率的几何意义 主曲率 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 深刻地刻画了曲面在一点附近的局部形状。 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 同号（都为正或都为负），则该点附近曲面是“碗状”的，像一个椭球面，该点称为 椭圆点 。 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 异号（一正一负），则该点附近曲面是“马鞍状”的，像一个双曲抛物面，该点称为 双曲点 。 如果 \( k_ 1 \) 和 \( k_ 2 \) 中有一个为零，则该点附近曲面在一个主方向上不弯曲，像一个圆柱面，该点称为 抛物点 。 高斯曲率与平均曲率 由两个主曲率，我们可以定义两个更基本的不变量： 高斯曲率 (K) ：定义为两个主曲率的乘积，即 \( K = k_ 1 \cdot k_ 2 \)。 平均曲率 (H) ：定义为两个主曲率的算术平均数，即 \( H = (k_ 1 + k_ 2)/2 \)。 高斯曲率具有极其重要的意义（高斯绝妙定理）：它是一个 内蕴量 ，即它的值只依赖于曲面本身的度量（第一基本形式），而不依赖于曲面如何嵌入到三维空间中。这意味着，无论你如何弯曲一个曲面（只要不拉伸或撕裂），其上各点的高斯曲率是不会改变的。平均曲率则是一个 外蕴量 ，它描述了曲面在空间中的嵌入方式。 总结来说， 主曲率 和 主方向 是分析曲面局部形状的基石。它们通过法曲率的极值得以定义，并由此引出了刻画曲面内在性质（高斯曲率）和外在性质（平均曲率）的关键几何不变量。