格林函数法在波动方程中的应用
好的，我们开始学习“格林函数法在波动方程中的应用”。这个方法是将格林函数的普适威力应用于波动这一具体物理过程的核心技术。
第一步：回顾核心要素——波动方程与格林函数
- 波动方程：我们考虑最简单也是最基础的形式，即均匀、各向同性介质中的标量波动方程：
\[ \frac{\partial^2 u(\mathbf{r}, t)}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 u(\mathbf{r}, t) = f(\mathbf{r}, t) \]
其中：
- \(u(\mathbf{r}, t)\) 是波场（如声压、位移）。
- \(c\) 是波速。
- \(\nabla^2\) 是拉普拉斯算符。
- \(f(\mathbf{r}, t)\) 是源项，代表产生波动的外力或激励的分布。
- 格林函数的思路：格林函数法的核心思想是“点源响应”。对于一个线性系统，如果我们知道了它在空间某点、某一时刻的一个瞬时脉冲激励下的响应（即格林函数），那么对于任意分布的复杂源 \(f(\mathbf{r}, t)\)，其产生的波场就可以通过将源分解为无数个点源的叠加，并对每个点源的响应进行叠加（积分）来得到。
第二步：定义波动方程的格林函数
波动方程的格林函数 \(G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}‘, t')\) 物理上代表在位置 \(\mathbf{r}’\)、时间 \(t'\) 施加一个瞬时点源时，在位置 \(\mathbf{r}\)、时间 \(t\) 所产生的波场。数学上，它满足以下方程：
\[\frac{\partial^2 G}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 G = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}‘) \delta(t - t’) \]
这里，\(\delta\) 是狄拉克δ函数，精确描述了“点源”和“瞬时”的特性。\(\mathbf{r}‘, t'\) 是源点的位置和时间，称为“源点”；\(\mathbf{r}, t\) 是观测点的位置和时间，称为“场点”。
第三步：推导一般解——叠加积分
由于方程是线性的，我们可以利用叠加原理。将任意源 \(f(\mathbf{r}‘, t')\) 看作无数个强度为 \(f(\mathbf{r}‘, t') d\mathbf{r}’ dt'\) 的瞬时点源的集合。每个这样的点源产生的场是 \(f(\mathbf{r}‘, t') G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}’, t‘) d\mathbf{r}’ dt‘\)。将所有点源的贡献加起来（积分），就得到了总波场 \(u(\mathbf{r}, t)\)：
\[u(\mathbf{r}, t) = \iiint_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{t} f(\mathbf{r}’, t‘) G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}’, t‘) dt’ d\mathbf{r}‘ \]
或者，更常见地，积分上限写到 \(\infty\)，但利用因果性（见下一步）：
\[u(\mathbf{r}, t) = \iiint_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\mathbf{r}’, t‘) G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}’, t‘) dt’ d\mathbf{r}‘ \]
这个公式是格林函数法的精髓：一旦求出了特定问题的格林函数 \(G\)，那么对于任何源 \(f\)，其解都可以通过这个积分得到。
第四步：引入因果性——推迟格林函数
物理世界要求因果关系：结果不能先于原因。波场 \(u(\mathbf{r}, t)\) 在 \(t\) 时刻的值，只能由源在 \(t’ < t\) 时刻的激励所引起。这就要求我们的格林函数必须满足：
\[G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}‘, t’) = 0 \quad \text{当} \quad t < t‘ \]
这称为因果条件或推迟条件。满足这个条件的格林函数称为推迟格林函数。它描述了一个从源点 \(\mathbf{r}’\) 发出，以速度 \(c\) 向外传播的波前。对于无界空间（自由空间）中的波动方程，其推迟格林函数有非常漂亮的解析形式：
\[G_{\text{ret}}(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}‘, t’) = \frac{1}{4\pi c^2 |\mathbf{r} - \mathbf{r}‘|} \delta \left( t - t’ - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}‘|}{c} \right) \]
这个公式的物理意义极其明确：
- \(\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}\) 反映了球面波的几何衰减。
- \(\delta \left( t - t‘ - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \right)\) 确保了场点 \(\mathbf{r}\) 在 \(t\) 时刻感受到的，正好是源点 \(\mathbf{r}’\) 在 \(t‘ = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c}\) 时刻的激励，这个时间差 \(\frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}‘|}{c}\) 正是波以速度 \(c\) 传播所需的时间。这就是“推迟”的由来。
第五步：应用于具体问题——有界区域与初边值条件
上面的讨论是基于无界空间的。对于有界区域（如房间内、波导中），情况更复杂，但也更有用。
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边界的影响：此时，格林函数 \(G\) 不仅要满足点源方程和因果条件，还必须满足区域边界上的边界条件（如 Dirichlet 条件 \(u=0\) 或 Neumann 条件 \(\partial u/\partial n=0\)）。这通常使得格林函数不再有像自由空间那样简单的全局表达式。
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求解方法：在这种情况下，求解 \(G\) 本身就是一个复杂的边值问题。常用方法包括：
- 镜像法：对于简单的几何形状（如半空间、矩形域），可以通过在边界外设置“镜像源”来满足边界条件，从而构造出格林函数。
- 本征函数展开法：这是更通用的方法。将格林函数按该区域上相应拉普拉斯算符的本征函数（如正弦、余弦函数）展开。这个方法将求解偏微分方程的问题转化为求解一个常微分方程（对于时间部分）和求和（对于空间本征函数）的问题。
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完整解的形式：在有界区域中，波动方程的解 \(u(\mathbf{r}, t)\) 不仅包含由源 \(f\) 产生的贡献（即之前的体积分），还包含由初始条件（\(t=0\) 时刻的 \(u\) 和 \(\partial u / \partial t\)）引起的贡献，这部分通常通过格林公式转化为对初始面的积分。最终的解是源项积分、初始条件积分和边界条件贡献的总和。
总结
格林函数法在波动方程中的应用，提供了一个强大而统一的框架来理解波的产生和传播。从定义点源响应出发，通过线性叠加的积分形式得到一般解，并强调因果性这一物理核心。无论是在自由空间还是有界区域，该方法的本质都是将复杂问题归结为求解一个满足特定条件的“基本构建块”——格林函数。掌握了这个构建块，就等于掌握了求解一大类波动问题的钥匙。