里斯-索伯列夫空间中的庞加莱不等式 我们先从庞加莱不等式的基本形式开始。设Ω是R^n中的有界开集（例如具有Lipschitz边界）。经典的庞加莱不等式断言：存在一个仅依赖于区域Ω的常数C，使得对于所有在某种意义下均值为零的函数u（例如，在索伯列夫空间W^{1,p}(Ω)中），都有以下不等式成立： ‖u‖ {L^p(Ω)} ≤ C ‖∇u‖ {L^p(Ω)} 这里，‖∇u‖_ {L^p(Ω)} 是函数u的梯度在L^p空间中的范数。这个不等式的核心思想是：如果一个函数在一个有界区域上的平均值为零（或者更一般地，其震荡是零均值的），那么函数本身的L^p范数可以被其导数的L^p范数所控制。这意味着，函数不能偏离其平均值太远，除非它的导数很大。 为了将这个不等式推广到里斯-索伯列夫空间（即分数阶索伯列夫空间W^{s,p}(Ω)），我们需要引入分数阶导数的概念。在分数阶空间中，我们不再用梯度∇u，而是用Gagliardo半范数来度量函数的光滑性。对于s∈(0,1)和p∈ [ 1,∞)，Gagliardo半范数定义为： [ u]_ {W^{s,p}(Ω)} = ( ∫_ Ω ∫_ Ω (|u(x) - u(y)|^p) / (|x-y|^{n+sp}) dx dy )^{1/p} 那么，分数阶索伯列夫空间W^{s,p}(Ω)中的庞加莱不等式形式为：存在常数C，使得对于所有函数u∈W^{s,p}(Ω)，有 ‖u - u_ Ω‖ {L^p(Ω)} ≤ C [ u] {W^{s,p}(Ω)} 其中u_ Ω = (1/|Ω|) ∫_ Ω u(x) dx 是函数u在区域Ω上的平均值。这个不等式说明，函数与其平均值的偏差（即函数的震荡）可以被其分数阶光滑性（由Gagliardo半范数度量）所控制。 庞加莱不等式在偏微分方程理论中具有根本的重要性。它是不等式证明中的关键工具，用于估计解的大小，特别是在处理椭圆型方程的边值问题时。它确保了索伯列夫空间中的范数等价性，并是证明某些算子是Fredholm算子的基础。