模形式的自守L函数的p进L函数 我们先从模形式的基本概念开始。模形式是复上半平面上的全纯函数，在某个离散群（如模群 SL₂(ℤ) 或其同余子群）作用下具有特定的变换性质，并满足在尖点处的有界性条件。模形式通常记作 \( f(z) \)，其傅里叶展开为 \( f(z) = \sum_ {n \ge 0} a_ n e^{2\pi i n z} \)，其中系数 \( a_ n \) 蕴含了丰富的算术信息。 与模形式 \( f \) 关联的 L 函数定义为狄利克雷级数 \( L(f, s) = \sum_ {n \ge 1} \frac{a_ n}{n^s} \)，该级数在复半平面 Re(s) > k 上绝对收敛（k 是模形式的权）。通过解析延拓，\( L(f, s) \) 可延拓为整个复平面上的亚纯函数，并满足函数方程，将 s 与 k-s 关联起来。这种 L 函数是自守 L 函数的特例，反映了模形式的算术与解析性质。 p 进数域 ℚₚ 是实数域 ℝ 的类比，但基于 p 进绝对值而非通常的绝对值。p 进分析研究 ℚₚ 上的函数与算子，其性质与复分析有显著差异。p 进 L 函数是将经典 L 函数的复变量 s 替换为 p 进变量，使其成为 p 进解析函数。构造 p 进 L 函数通常需要模形式满足特定条件，如普通性（ordinarity），即傅里叶系数 \( a_ p \) 在 p 进绝对值下满足 \( |a_ p|_ p = 1 \)。 模形式的 p 进 L 函数 \( L_ p(f, s) \) 是 ℚₚ 上的 p 进解析函数（或亚纯函数），其特殊值在整数点 s = k（权）等处与经典 L 函数值 \( L(f, k) \) 通过 p 进插值公式关联。具体而言，存在常数 Ωₚ⁺ 和 Ωₚ⁻（与模形式的周期相关），使得对某些整数 j，有 \( L_ p(f, j) = (\text{代数数}) \cdot \frac{L(f, j)}{\Omega_ p^{\pm}} \)。这一公式将复 L 函数的算术信息编码为 p 进对象。 p 进 L 函数的构造方法多样，包括： 通过模符号（modular symbols）的 p 进插值。 利用模曲线雅可比簇的 p 进伽罗瓦表示。 借助 Overconvergent 模形式的 p 进分布理论。 p 进 L 函数在数论中有深远应用。例如，在 BSD 猜想中，椭圆曲线的 p 进 L 函数在中心点的零点阶与 Mordell-Weil 群的秩相关；在岩泽理论中，p 进 L 函数用于研究类群的 p 进渐进性质。此外，p 进 L 函数是朗兰兹纲领 p 进版本的核心，连接了 p 进伽罗瓦表示与自守形式。 模形式的 p 进 L 函数将经典模形式的解析对象转化为 p 进数域上的函数，揭示了素数 p 的局部性质如何影响全局算术结构。这一理论不仅深化了对 L 函数的理解，还为解决丢番图方程等问题提供了强大工具。