曲面的高斯曲率 我们先从曲线的基本几何量——曲率开始。一条平面曲线在给定点处的曲率，衡量的是该点附近曲线偏离直线的程度。曲率越大，弯曲得越厉害。对于一个圆来说，其曲率是一个常数，等于半径的倒数。 现在，我们将视野从曲线（一维对象）提升到曲面（二维对象）。想象一个曲面，比如一个球面、一个圆柱面，或者一个马鞍面。我们如何描述曲面在一点处的弯曲程度呢？一个直观的想法是：过该点做曲面的法线（即垂直于该点切平面的直线），然后用一系列包含这条法线的平面去切割曲面，会得到一系列通过该点的平面曲线。这些曲线被称为 法截线 。 每一条法截线在该点都有一个曲率，称为 法曲率 。然而，问题来了：随着切割平面的方向不同，法曲率的值也会变化。那么，用哪一个法曲率来代表曲面在该点的弯曲程度呢？欧拉发现，在所有方向的法曲率中，存在一个最大值和一个最小值（称为 主曲率 ，记作 κ₁ 和 κ₂），并且这两个方向是相互垂直的。 有了两个主曲率，我们就可以定义两个非常重要的曲面内在几何量： 平均曲率 (H) ： H = (κ₁ + κ₂) / 2。它在一定程度上反映了曲面在该点的“平均”弯曲情况，与曲面在空间中的嵌入方式（如是否最小曲面）密切相关。 高斯曲率 (K) ： K = κ₁ × κ₂。这是本词条的核心。高斯曲率是这两个主曲率的乘积。 高斯曲率 K 有一个极其深刻的几何意义，这由高斯在他的“绝妙定理”中揭示： 高斯曲率是曲面的一个内在性质 。这意味着，它只依赖于曲面本身的第一基本形式（即曲面上测量长度和角度的方式），而与曲面如何嵌入到三维空间中无关。例如，你可以弯曲一张纸（不发生拉伸或撕裂），纸上的高斯曲率在任何点都保持为0，因为对于平面，κ₁ = κ₂ = 0，所以 K=0。虽然你把它卷成了圆柱面，但纸上的几何（比如两点间最短的线）并没有改变。 根据高斯曲率的正负，我们可以对曲面上的点进行分类： 椭圆点 (K > 0) ： 两个主曲率同号。在该点附近，曲面位于切平面的同一侧。典型的例子是球面上的任何点，或者一个“山包”的顶点。 双曲点 (K < 0) ： 两个主曲率异号。在该点附近，曲面像马鞍一样，一部分在切平面之上，一部分在切平面之下。马鞍面中心就是双曲点。 抛物点 (K = 0) ： 至少有一个主曲率为零。在该点附近，曲面在一个方向上像直线（如圆柱的母线方向），在另一个方向上弯曲（如圆柱的横截面方向）。圆柱面和圆锥面上的点（除顶点外）都是抛物点。 高斯曲率在微分几何、物理学（如广义相对论）和工程学中都有极其重要的应用，它是理解曲面本质属性的关键。