好的，我们来看一个新的词条。 可测函数关于测度的积分（定义与构造） 这个概念是实变函数论的核心，它为我们提供了一种在非常一般的测度空间（比如欧几里得空间配上勒贝格测度）上定义积分的方法。 第一步：为什么需要新的积分定义？ 你可能已经熟悉了黎曼积分，它适用于像连续函数这样“行为良好”的函数。然而，黎曼积分有严重的局限性： 对函数要求苛刻 ：即使函数有可数个间断点，也可能不可积。 极限操作困难 ：一列黎曼可积函数的极限函数，很可能不再是黎曼可积的。也就是说，黎曼积分与极限运算交换次序的条件非常严格。 为了克服这些缺点，我们需要一种更强大、更灵活的积分，它能处理更广泛的函数类，并且与极限操作有更好的相容性。这就是“可测函数关于测度的积分”，通常简称为 勒贝格积分 。 第二步：积分的构建思路——从简单到复杂 勒贝格积分的定义采用了一种“自下而上”的构造方法，遵循一个清晰的、循序渐进的步骤： 1. 特征函数的积分 我们从一个最简单的概念开始： 可测集的特征函数 。 设 (X, Σ, μ) 是一个测度空间， E 是一个可测集（即 E ∈ Σ ）。 E 的特征函数 χ_E(x) 定义为：当 x ∈ E 时，函数值为1；当 x ∉ E 时，函数值为0。 我们 定义 特征函数 χ_E 关于测度 μ 的积分为该集合的测度： ∫ χ_E dμ = μ(E) 这个定义非常直观：函数值恒为1的区域“面积”就是该区域的测度。 2. 简单函数的积分 简单函数 ：是指能表示为有限个互不相交的可测集的特征函数的线性组合的函数。即： s(x) = Σ_{i=1}^n a_i * χ_{E_i}(x) 其中， a_i 是实数（或复数）， E_i 是互不相交的可测集。 简单函数是“阶梯函数”概念的推广，但它允许定义在更一般的集合上。 对于简单函数，我们通过线性性来 定义 其积分： ∫ s dμ = ∫ [Σ a_i χ_{E_i}] dμ = Σ a_i ∫ χ_{E_i} dμ = Σ a_i μ(E_i) 这个定义是自然的，它表示将函数在每个“台阶”上的值乘以该“台阶”的测度，然后求和。 3. 非负可测函数的积分 设 f 是一个 非负 的可测函数（即对于任意实数 t ，集合 {x: f(x) > t} 是可测的）。 关键思想是：用一串递增的简单函数序列 {s_n} 来从下方逼近 f 。可以证明，这样的序列总是存在的，并且 s_n(x) -> f(x) 。 我们 定义 f 的积分为所有逼近它的简单函数积分的上确界： ∫ f dμ = sup { ∫ s dμ : s 是简单函数，且 0 ≤ s ≤ f } 等价地，也可以定义为逼近序列积分的极限： ∫ f dμ = lim_{n->∞} ∫ s_n dμ 这个定义保证了积分的单调性：如果 0 ≤ f ≤ g ，那么 ∫ f dμ ≤ ∫ g dμ 。 4. 一般可测函数的积分 对于一个取实值或复数值的一般可测函数 f ，我们将其分解为其 正部 和 负部 （对于实函数）： f^+(x) = max(f(x), 0) f^-(x) = max(-f(x), 0) 显然， f = f^+ - f^- ，并且 f^+ 和 f^- 都是非负可测函数。 我们 定义 f 的积分为： ∫ f dμ = ∫ f^+ dμ - ∫ f^- dμ 注意 ：这个差式必须有意义。如果 ∫ f^+ dμ 和 ∫ f^- dμ 都是无穷大，那么积分无定义。如果其中至少有一个是有限的，我们称 f 是 可积的 。特别地，如果 ∫ f^+ dμ 和 ∫ f^- dμ 都有限，则称 f 为 可积函数 （此时积分值为有限数）。 第三步：新积分的关键性质与优势 通过上述方式定义的积分，具备了黎曼积分所缺乏的强大性质： 线性 ： ∫ (af + bg) dμ = a∫ f dμ + b∫ g dμ （在可积条件下）。 单调性 ：如果 f ≤ g 几乎处处成立，则 ∫ f dμ ≤ ∫ g dμ 。 强大的收敛定理 ：这是勒贝格积分理论的皇冠。它提供了在非常弱的条件下，积分与极限运算可以交换次序的保证。最重要的几个定理你已学过，如 单调收敛定理 、 法图引理 和 勒贝格控制收敛定理 。这些定理使得分析和处理函数序列的极限变得异常方便。 总结 可测函数关于测度的积分 的构造是一个典范性的数学过程： 从最基础的对象（ 特征函数 ）出发，给出直观的定义。 通过线性性扩展到一类更广但仍简单的对象（ 简单函数 ）。 利用“逼近”和“上确界/极限”的思想，将定义扩展到所有 非负可测函数 。 最后，通过代数分解（ 正部与负部 ）将定义完整地覆盖到所有 一般可测函数 。 这个定义方式不仅严谨，而且其产生的理论完美地解决了黎曼积分的缺陷，为现代分析学、概率论等领域奠定了坚实的基础。