随机变量的变换的极坐标方法
字数 4328 2025-11-10 23:24:07

好的，我们来看一个新的词条。

随机变量的变换的极坐标方法

首先，我们来理解这个标题的核心。“随机变量的变换”指的是，我们有一个或多个已知分布的随机变量，通过一个确定的函数关系，得到新的随机变量，并希望求出这些新随机变量的概率分布。“极坐标方法”则特指一种常用的变换技巧：将笛卡尔坐标系（直角坐标系）中的随机变量，通过极坐标变换，转换为极径和极角形式的随机变量。

这种方法在处理二维（或更高维）的联合分布，特别是当问题本身具有旋转对称性时，非常强大和方便。一个最经典的例子就是Box-Muller变换（您已学过，它是生成标准正态随机变量的一种算法），其核心思想正是极坐标方法。

下面我们循序渐进地讲解。

第一步：回顾二维极坐标变换

在二维平面上，任何一个点既可以用笛卡尔坐标 \((X, Y)\) 表示，也可以用极坐标 \((R, \Theta)\) 表示。它们之间的变换关系是：

  • 从直角坐标到极坐标：
    \(R = \sqrt{X^2 + Y^2}\)
    \(\Theta = \arctan\left(\frac{Y}{X}\right)\) (需要根据象限确定正确的角度)

  • 从极坐标到直角坐标：
    \(X = R \cos\Theta\)
    \(Y = R \sin\Theta\)

在概率论中，如果我们把 \((X, Y)\) 看作一个二维随机向量，那么 \((R, \Theta)\) 就是通过变换得到的一个新的二维随机向量。

第二步：核心工具——二维随机向量的变换定理（雅可比行列式）

假设我们已知二维随机向量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数为 \(f_{X,Y}(x, y)\)。现在我们考虑一个一对一的变换：
\(U = g_1(X, Y)\)
\(V = g_2(X, Y)\)

那么，新随机向量 \((U, V)\) 的联合概率密度函数 \(f_{U,V}(u, v)\) 由以下公式给出：
\(f_{U,V}(u, v) = f_{X,Y}(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|\)

其中：

  • \(x(u,v)\) 和 \(y(u,v)\) 是变换的逆变换，即用 \(u, v\) 表示出 \(x, y\)。
  • \(|J|\) 是变换的雅可比行列式（Jacobian Determinant） 的绝对值。雅可比矩阵 \(J\) 定义为：
    \(J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix}\)
    因此，雅可比行列式 \(|J| = \left| \det(J) \right|\)。

这个公式可以理解为：概率质量在变换前后必须守恒，但变换会“拉伸”或“压缩”空间，雅可比行列式正好度量了这种局部体积变化率。

第三步：应用变换定理到极坐标情况

现在，我们将这个一般性的变换定理应用到极坐标这个具体场景。这里，我们的原变量是 \((X, Y)\)，新变量是 \((R, \Theta)\)。

  1. 逆变换：我们从极坐标到直角坐标的公式就是所需的逆变换。
    \(x = r \cos\theta\)
    \(y = r \sin\theta\)
    （这里用小写 \(r, \theta\) 表示随机变量 \(R, \Theta\) 的具体取值）

  2. 计算雅可比行列式：我们需要计算从 \((r, \theta)\) 到 \((x, y)\) 的变换的雅可比行列式。
    雅可比矩阵为：
    \(J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}\)

    计算这个矩阵的行列式：
    \(\det(J) = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r\)

因此，雅可比行列式的绝对值为 \(|J| = |r|\)。由于极径 \(r\) 通常是非负的（\(R \ge 0\)），所以 \(|J| = r\)。

  1. 得到联合密度函数：根据变换定理，新变量 \((R, \Theta)\) 的联合概率密度函数为：
    \(f_{R,\Theta}(r, \theta) = f_{X,Y}(x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot r = f_{X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\)
    其中 \(r \ge 0\)，通常 \(\theta \in [0, 2\pi)\)。

这个公式 \(f_{R,\Theta}(r, \theta) = f_{X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\) 就是极坐标方法的基石。

第四步：一个经典例子——从独立标准正态分布到瑞利分布和均匀分布

假设 \(X\) 和 \(Y\) 是独立同分布的随机变量，且都服从标准正态分布，即 \(X, Y \sim N(0, 1)\)。那么它们的联合概率密度函数为：
\(f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\)

现在，我们将其转换为极坐标 \((R, \Theta)\)。

  1. 代入极坐标变换公式：
    将 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\) 代入联合密度函数：
    \(f_{X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2}{2}} = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}}\)

  2. 计算新联合密度：
    根据第三步的公式：
    \(f_{R,\Theta}(r, \theta) = \left( \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}} \right) \cdot r = \frac{r}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}}\)， 其中 \(r \ge 0, \theta \in [0, 2\pi)\)

  3. 分析结果的深刻含义：
    请注意，这个联合密度函数可以分解为：
    \(f_{R,\Theta}(r, \theta) = \left[ r e^{-\frac{r^2}{2}} \right] \cdot \left[ \frac{1}{2\pi} \right]\)

    观察这个形式：

  • 它只与 \(r\) 有关的部分是 \(r e^{-r^2/2}\)。
  • 它只与 \(\theta\) 有关的部分是 \(1/(2\pi)\)，这是一个常数。
    • 并且两者是相乘的关系。

这意味着随机变量 \(R\) 和 \(\Theta\) 是相互独立的！

  • \(\Theta\) 的边际密度：\(f_{\Theta}(\theta) = \int_{0}^{\infty} f_{R,\Theta}(r, \theta) dr = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-r^2/2} dr\)。这个积分的结果为1（可以验证），所以 \(f_{\Theta}(\theta) = \frac{1}{2\pi}\)。这表明 \(\Theta\) 在区间 \([0, 2\pi)\) 上服从均匀分布。
  • \(R\) 的边际密度：\(f_{R}(r) = \int_{0}^{2\pi} f_{R,\Theta}(r, \theta) d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{r}{2\pi} e^{-r^2/2} d\theta = r e^{-r^2/2}\)。这个分布就是瑞利分布（Rayleigh Distribution）。

第五步：方法总结与应用场景

极坐标方法的核心步骤总结：

  1. 写出原联合分布 \(f_{X,Y}(x, y)\)。
  2. 进行极坐标逆变换 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)。
  3. 计算雅可比行列式 \(|J| = r\)。
  4. 代入公式 \(f_{R,\Theta}(r, \theta) = f_{X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\)，得到新联合分布。
  5. （可选）通过对 \(\theta\) 或 \(r\) 积分，求边际分布 \(f_R(r)\) 或 \(f_\Theta(\theta)\)，并判断独立性。

应用场景：

  • 生成特定分布的随机数：如Box-Muller变换利用此关系生成正态随机数。
  • 解决几何概率问题：例如，求一个点落在圆盘、圆环或某个扇形区域内的概率。
  • 信号处理：瑞利分布常用于描述包络检测后的信号幅度。
  • 任何具有旋转对称性的问题：当原联合分布 \(f_{X,Y}(x, y)\) 可以表示为 \(g(x^2 + y^2)\) 的形式时（即只依赖于到原点的距离），极坐标方法会极大地简化计算，因为此时 \(f_{X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) = g(r^2)\) 与 \(\theta\) 无关。
好的，我们来看一个新的词条。 随机变量的变换的极坐标方法 首先，我们来理解这个标题的核心。“随机变量的变换”指的是，我们有一个或多个已知分布的随机变量，通过一个确定的函数关系，得到新的随机变量，并希望求出这些新随机变量的概率分布。“极坐标方法”则特指一种常用的变换技巧：将笛卡尔坐标系（直角坐标系）中的随机变量，通过极坐标变换，转换为极径和极角形式的随机变量。 这种方法在处理二维（或更高维）的联合分布，特别是当问题本身具有旋转对称性时，非常强大和方便。一个最经典的例子就是 Box-Muller变换 （您已学过，它是生成标准正态随机变量的一种算法），其核心思想正是极坐标方法。 下面我们循序渐进地讲解。 第一步：回顾二维极坐标变换 在二维平面上，任何一个点既可以用笛卡尔坐标 \((X, Y)\) 表示，也可以用极坐标 \((R, \Theta)\) 表示。它们之间的变换关系是： 从直角坐标到极坐标： \( R = \sqrt{X^2 + Y^2} \) \( \Theta = \arctan\left(\frac{Y}{X}\right) \) (需要根据象限确定正确的角度) 从极坐标到直角坐标： \( X = R \cos\Theta \) \( Y = R \sin\Theta \) 在概率论中，如果我们把 \((X, Y)\) 看作一个二维随机向量，那么 \((R, \Theta)\) 就是通过变换得到的一个新的二维随机向量。 第二步：核心工具——二维随机向量的变换定理（雅可比行列式） 假设我们已知二维随机向量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数为 \( f_ {X,Y}(x, y) \)。现在我们考虑一个一对一的变换： \( U = g_ 1(X, Y) \) \( V = g_ 2(X, Y) \) 那么，新随机向量 \((U, V)\) 的联合概率密度函数 \( f_ {U,V}(u, v) \) 由以下公式给出： \( f_ {U,V}(u, v) = f_ {X,Y}(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| \) 其中： \( x(u,v) \) 和 \( y(u,v) \) 是变换的逆变换，即用 \( u, v \) 表示出 \( x, y \)。 \( |J| \) 是变换的 雅可比行列式（Jacobian Determinant） 的绝对值。雅可比矩阵 \( J \) 定义为： \( J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \) 因此，雅可比行列式 \( |J| = \left| \det(J) \right| \)。 这个公式可以理解为：概率质量在变换前后必须守恒，但变换会“拉伸”或“压缩”空间，雅可比行列式正好度量了这种局部体积变化率。 第三步：应用变换定理到极坐标情况 现在，我们将这个一般性的变换定理应用到极坐标这个具体场景。这里，我们的原变量是 \((X, Y)\)，新变量是 \((R, \Theta)\)。 逆变换 ：我们从极坐标到直角坐标的公式就是所需的逆变换。 \( x = r \cos\theta \) \( y = r \sin\theta \) （这里用小写 \( r, \theta \) 表示随机变量 \( R, \Theta \) 的具体取值） 计算雅可比行列式 ：我们需要计算从 \((r, \theta)\) 到 \((x, y)\) 的变换的雅可比行列式。 雅可比矩阵为： \( J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} \) 计算这个矩阵的行列式： \( \det(J) = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r \) 因此，雅可比行列式的绝对值为 \( |J| = |r| \)。由于极径 \( r \) 通常是非负的（\( R \ge 0 \)），所以 \( |J| = r \)。 得到联合密度函数 ：根据变换定理，新变量 \((R, \Theta)\) 的联合概率密度函数为： \( f_ {R,\Theta}(r, \theta) = f_ {X,Y}(x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot r = f_ {X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \) 其中 \( r \ge 0 \)，通常 \( \theta \in [ 0, 2\pi) \)。 这个公式 \( f_ {R,\Theta}(r, \theta) = f_ {X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \) 就是极坐标方法的基石。 第四步：一个经典例子——从独立标准正态分布到瑞利分布和均匀分布 假设 \( X \) 和 \( Y \) 是独立同分布的随机变量，且都服从标准正态分布，即 \( X, Y \sim N(0, 1) \)。那么它们的联合概率密度函数为： \( f_ {X,Y}(x, y) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \) 现在，我们将其转换为极坐标 \((R, \Theta)\)。 代入极坐标变换公式 ： 将 \( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \) 代入联合密度函数： \( f_ {X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2}{2}} = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}} \) 计算新联合密度 ： 根据第三步的公式： \( f_ {R,\Theta}(r, \theta) = \left( \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}} \right) \cdot r = \frac{r}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2}} \)， 其中 \( r \ge 0, \theta \in [ 0, 2\pi) \) 分析结果的深刻含义 ： 请注意，这个联合密度函数可以分解为： \( f_ {R,\Theta}(r, \theta) = \left[ r e^{-\frac{r^2}{2}} \right] \cdot \left[ \frac{1}{2\pi} \right ] \) 观察这个形式： 它只与 \( r \) 有关的部分是 \( r e^{-r^2/2} \)。 它只与 \( \theta \) 有关的部分是 \( 1/(2\pi) \)，这是一个常数。 并且两者是相乘的关系。 这意味着随机变量 \( R \) 和 \( \Theta \) 是 相互独立 的！ \( \Theta \) 的边际密度：\( f_ {\Theta}(\theta) = \int_ {0}^{\infty} f_ {R,\Theta}(r, \theta) dr = \frac{1}{2\pi} \int_ {0}^{\infty} r e^{-r^2/2} dr \)。这个积分的结果为1（可以验证），所以 \( f_ {\Theta}(\theta) = \frac{1}{2\pi} \)。这表明 \( \Theta \) 在区间 \( [ 0, 2\pi)\) 上服从 均匀分布 。 \( R \) 的边际密度：\( f_ {R}(r) = \int_ {0}^{2\pi} f_ {R,\Theta}(r, \theta) d\theta = \int_ {0}^{2\pi} \frac{r}{2\pi} e^{-r^2/2} d\theta = r e^{-r^2/2} \)。这个分布就是 瑞利分布（Rayleigh Distribution） 。 第五步：方法总结与应用场景 极坐标方法的核心步骤总结： 写出原联合分布 \( f_ {X,Y}(x, y) \)。 进行极坐标逆变换 \( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \)。 计算雅可比行列式 \( |J| = r \)。 代入公式 \( f_ {R,\Theta}(r, \theta) = f_ {X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \)，得到新联合分布。 （可选）通过对 \( \theta \) 或 \( r \) 积分，求边际分布 \( f_ R(r) \) 或 \( f_ \Theta(\theta) \)，并判断独立性。 应用场景： 生成特定分布的随机数 ：如Box-Muller变换利用此关系生成正态随机数。 解决几何概率问题 ：例如，求一个点落在圆盘、圆环或某个扇形区域内的概率。 信号处理 ：瑞利分布常用于描述包络检测后的信号幅度。 任何具有旋转对称性的问题 ：当原联合分布 \( f_ {X,Y}(x, y) \) 可以表示为 \( g(x^2 + y^2) \) 的形式时（即只依赖于到原点的距离），极坐标方法会极大地简化计算，因为此时 \( f_ {X,Y}(r\cos\theta, r\sin\theta) = g(r^2) \) 与 \( \theta \) 无关。