模型论中的型与可定义性

我们先从一阶逻辑的一个结构开始。设想一个数学结构，比如群 (G, ·, e)，它包含一个集合G，一个二元运算·和一个常量e（单位元）。在这个结构中，我们可以用一阶逻辑的公式来描述元素的属性，比如“x 是单位元”可以用公式 φ(x) := ∀y (x·y = y ∧ y·x = y) 来定义。如果一个元素g满足 φ(g)，我们就说g具有属性φ。型（type）的概念就是将这种“可定义的属性”的想法从一个元素扩展到一组元素，并且可能涉及无限多个属性。

第一步：型（Type）的基本概念

一个型，直观上，是描述一个或一组元素所有可能具备的一阶性质的公式集合。考虑一个一阶语言L和一个L-结构M。设A是M的一个子集（参数集）。我们关注的是M中某个（或某组）元素所满足的所有带参数的公式。

1. n-型：设n是一个自然数。一个（关于A的）n-型p是一个由n个自由变量的L-公式（公式中允许包含来自A的常量作为参数）组成的集合，并且这个集合满足一致性条件：对于p中任意有限多个公式φ₁(x₁,...,xₙ), ..., φₖ(x₁,...,xₙ)，它们在结构M中是可以同时被满足的。即，存在M中的元素m₁, ..., mₙ，使得M ⊨ φ₁(m₁,...,mₙ) ∧ ... ∧ φₖ(m₁,...,mₙ)。

2. 型的实现：如果存在M中的元素序列 (a₁, ..., aₙ) 使得对于p中的每一个公式φ(x₁,...,xₙ)，都有M ⊨ φ(a₁,...,aₙ)，那么我们就说这个n-型p在M中实现了（realized），而(a₁, ..., aₙ)就是它的一个实现。

3. 型的省略：如果一个n-型p在M中没有被任何元素序列实现，我们就说M省略（omit）了这个型。

第二步：完全型（Complete Type）

上面说的型可以包含任意多公式，只要它们有限相容。但一个更有力量的概念是完全型。

1. 定义：一个n-型p如果是极大的（或称完全的），意思是对于任何一个带n个自由变量的L-公式φ(x₁,...,xₙ)（允许A中参数），φ或者它的否定¬φ，总有一个属于p。换句话说，p已经对每一个性质都做出了“是”或“否”的决断。

2. 与理论的关联：设T是一个完全理论（即，对于任何句子φ，T要么证明φ，要么证明¬φ）。对于一个模型M ⊨ T，以及其中的元素a₁, ..., aₙ，集合 {φ(x₁,...,xₙ) | M ⊨ φ(a₁,...,aₙ)} 就是一个完全n-型。它包含了这n个元素所满足的所有一阶性质。这个型被称为a₁, ..., aₙ在M中的完全型。

3. 空间视角：所有关于A的完全n-型的集合构成了一个拓扑空间（斯通空间），其基闭集由形如 {p | φ ∈ p} 的集合构成，其中φ是某个公式。这个空间是紧致的豪斯多夫空间，这是模型论中的一个重要工具。

第三步：可定义集（Definable Set）

型是描述性质的公式集合，而可定义集则是由性质所确定的元素集合。

1. 定义：在结构M中，一个子集D ⊆ Mⁿ 被称为是可定义的（允许参数集A），如果存在一个L-公式φ(x₁,...,xₙ, a₁,...,aₖ)（其中aᵢ ∈ A），使得D恰好是那些使得M ⊨ φ(b₁,...,bₙ, a₁,...,aₖ)成立的元素序列(b₁,...,bₙ)的集合。简单说，D正是具有某个一阶性质的元素组构成的集合。

2. 例子：在实数域R中，集合 {x | x > 0} 是可定义的（由公式∃y (y² = x) ∧ ¬(x=0)定义）。在群(G, ·, e)中，中心Z(G) = {x | ∀y (x·y = y·x)} 也是可定义的。

第四步：型与可定义性的深刻联系

型和可定义性是两个紧密交织的核心概念。

1. 型决定了可定义集：一个完全n-型p可以被看作是一个“超精确定义”。虽然p本身可能对应一个无限复杂的性质，无法用单个公式捕捉，但它决定了所有包含它的可定义集。具体来说，所有形如 {φ(x₁,...,xₙ) | φ ∈ p} 的可定义集的交集，可以看作是这个“理想点”p的邻域基。如果一个可定义集X包含了一个型p的实现，那么公式定义X的公式必然属于p。

2. 可定义集与型的空间：每个可定义集X（由公式φ定义）对应于完全型空间中的一个闭集：{p | φ ∈ p}。研究可定义集的复杂性与研究型空间的拓扑性质是等价的。例如，如果每个可定义集都是有限个“连通的”可定义集的布尔组合，那么型的空间会具有很好的性质。

3. 省略型定理的应用：模型论中著名的省略型定理指出，在满足某些条件下（特别是理论T是原子模型时），我们可以构造一个模型，它省略掉一个给定的非主型（即不在某个“小的”可定义集里稠密的型）。这说明了可定义性如何控制模型中可能存在的“复杂”元素：如果理论足够“简单”（原子模型），那么它的模型就不会实现那些过于“怪异”（非主）的型。

总结来说，型是描述元素性质的公式集合（特别是完全型，它给出了性质的完整描述），而可定义集是由性质外延出来的元素集合。通过研究型的空间（斯通对偶），我们可以深刻理解一个数学结构内部一阶逻辑所能定义的子集的整体结构和复杂性。这是连接句法（公式）和语义（模型中的集合）的一座关键桥梁。