信用违约互换指数分券（CDS Index Tranche）的定价模型 信用违约互换指数分券是一种基于信用违约互换指数的结构化衍生品，其定价模型需要结合组合信用风险理论、损失分布建模和分券现金流分析。以下是循序渐进的讲解： 1. 基础概念：CDS指数与分券机制 CDS指数 ：追踪一篮子参考实体（如100家公司）的信用风险，指数价差反映篮子整体的平均信用水平。 分券 ：将指数可能的损失划分为不同层级，例如： 股权分券（0%-3%）：最先承担损失，风险最高，收益也最高。 中级分券（3%-7%）：在股权分券耗尽后承担损失。 高级分券（7%-10%）：风险最低，收益也最低。 分券现金流 ：买方定期支付分券价差（保费），仅在损失未超过分券上限时获得支付；若损失进入分券范围，买方需按损失比例支付违约赔付。 2. 损失分布建模：单因子高斯连接函数模型 模型核心 ：假设组合中每个参考实体的违约相关性由共同的市场因子（如宏观经济变量）和个体风险因子驱动。 数学表达 ： 第 \( i \) 个实体的资产价值变化为： \[ A_ i = \sqrt{\rho} \cdot Z + \sqrt{1-\rho} \cdot \varepsilon_ i \] 其中 \( Z \) 为共同因子（标准正态分布），\( \varepsilon_ i \) 为个体因子（独立正态分布），\( \rho \) 为违约相关性。 违约条件 ：当 \( A_ i < \Phi^{-1}(PD_ i) \) 时发生违约，其中 \( PD_ i \) 为风险中性违约概率，\( \Phi \) 为标准正态分布函数。 3. 分券损失计算 损失分配规则 ： 设 \( L_ {\text{总}} \) 为组合总损失，分券 \([ A, B ]\) 的实际损失为： \[ L_ {[ A,B]} = \min(L_ {\text{总}}, B) - \min(L_ {\text{总}}, A) \] 预期损失 ：通过对共同因子 \( Z \) 积分计算条件预期损失： \[ \mathbb{E}[ L_ {[ A,B]}] = \int_ {-\infty}^{\infty} \mathbb{E}[ L_ {[ A,B]} \mid Z ] \, \phi(Z) \, dZ \] 其中 \( \phi(Z) \) 为标准正态密度函数。 4. 分券价差定价 保费与赔付的现值平衡 ： 分券价差 \( S \) 满足： \[ S \cdot \text{保费久期} = \text{预期违约赔付现值} \] 保费久期 ：考虑分券名义本金随损失增加的递减效应，需计算剩余本金的预期现值。 数值方法 ：通常采用蒙特卡洛模拟或半解析法（如递归卷积）计算损失分布，再通过迭代求解价差 \( S \)。 5. 模型扩展与市场实践 基差风险调整 ：实际价差可能偏离模型值，需引入基差风险（如流动性溢价）。 随机回收率 ：将回收率设为随机变量以更准确反映极端损失。 相关性微笑 ：不同分券隐含的相关性不同，需使用局部相关性模型或随机相关性模型进行校准。 通过以上步骤，模型将违约概率、相关性、分券结构融为一体，为CDS指数分券的定价与风险管理提供理论基础。