平行公设

1. 首先，我们回到几何学的基础——欧几里得几何的公理系统。欧几里得在他的《几何原本》中提出了五条公设，其中前四条都相对直观，例如“任意两点可以连接一条直线”。然而，第五条公设，即平行公设，其表述要复杂得多。它的原始形式大致是：若一条直线与另外两条直线相交，且在某一侧的同旁内角之和小于两直角，则这两条直线在这一侧无限延长后必定相交。

2. 由于这条公设的陈述不像前四条那样“自明”，历史上许多数学家试图从其他公设中将其推导出来，以证明它是一条定理而非必须的公设。然而，所有这些尝试都失败了。这些尝试间接促进了人们对几何学基础的理解。

3. 一个更常用且等价的平行公设表述是普莱费尔公理：过已知直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行（在同一平面内）。这里的“平行”定义为两条直线在同一平面内永不相交。这种“有且仅有”的唯一性，是欧几里得几何的核心特征。

4. 现在，我们探讨放弃或修改平行公设会导致什么。19世纪，罗巴切夫斯基和波尔约等人独立地发现，如果我们假设“过直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行”，那么我们可以构建出一套全新的、逻辑上自洽的几何学，称为双曲几何。在这种几何中，三角形的内角和小于180度。

5. 另一种可能是，我们假设“过直线外一点，没有直线与已知直线平行”（即任何两条直线最终都会相交）。这导致了椭圆几何的诞生。一个常见的椭圆几何模型是球面几何，其中“直线”被定义为大圆。在球面上，任意两个大圆都会相交于两点。在这种几何中，三角形的内角和大于180度。

6. 平行公设的独立性最终被确认，它确实是欧几里得几何体系中的一个独立公设，不能被其他公设证明。这个认识标志着非欧几何的正式确立，彻底改变了人们对空间本质的理解，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学框架。因此，平行公设是区分欧氏几何与非欧几何的关键。