数学课程设计中的数学抽象阶梯构建 数学抽象阶梯构建是指在数学课程设计中，有意识地将数学概念、原理或方法的抽象过程，设计成一个由具体到抽象、由简单到复杂、层层递进的认知阶梯。其核心目的是帮助学生平稳地跨越具体经验与形式化数学之间的认知鸿沟，使抽象的数学知识变得可攀爬、可理解。 第一步：理解数学抽象的本质与过程 首先，需要明确数学抽象并非一蹴而就。它通常包含三个基本阶段： 具体化阶段 ：从现实世界或学生已有的知识经验中，选取具体、直观的实例。例如，在引入“函数”概念时，从“气温随时间变化”、“圆的面积随半径变化”等具体现象入手。 符号化阶段 ：将具体实例中的共同属性或关系，用数学符号（如字母、图形、公式）进行表征。例如，用变量x和y表示两个相关联的量，用 y = f(x) 表示它们之间的对应关系。 形式化阶段 ：摆脱具体实例的背景，提炼出纯粹的数量关系或空间形式，形成抽象的定义、公理或定理。例如，给出函数的集合映射定义：“设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。” 数学抽象阶梯构建，就是要在课程设计中清晰地铺设出这三个阶段的过渡路径。 第二步：识别并设计抽象阶梯的层级 一个有效的抽象阶梯应包含多个层次分明、梯度合理的台阶。课程设计者需要为特定的数学内容设计这些层级： 现实情境层 ：设计与学生生活紧密相关、易于感知的真实情境。这是抽象的起点，旨在激发兴趣和提供感性材料。例如，学习“轴对称”时，观察蝴蝶、天安门城楼等实物的图片。 操作体验层 ：设计动手活动，让学生在操作中体验数学关系。例如，通过折叠纸张来感受和验证轴对称图形的性质。 半符号化层 ：引入图形、图表、初步的符号等作为具体事物与纯粹符号之间的桥梁。例如，画出轴对称图形的对称轴，并用虚线表示。 初步形式化层 ：用数学语言描述操作和观察到的规律，形成初步的结论。例如，总结轴对称图形的特征：“对折后能完全重合”。 严格形式化层 ：给出精确的数学定义、符号表示和逻辑推理。例如，给出轴对称的几何定义：“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合”。 应用与推广层 ：将抽象出的概念或原理应用于新的、更一般的情境中，完成抽象的螺旋式上升。例如，讨论轴对称在解析几何中的表达式（如关于y轴对称的函数特性 f(-x) = f(x) ），或在更复杂图形中的应用。 第三步：在课程设计中实施阶梯构建的策略 任务序列设计 ：围绕核心概念，设计一系列有逻辑关联的学习任务。每个任务对应阶梯的一个层级，后一个任务建立在前一个任务的理解之上。例如，从“数小棒”认识10以内的数，到“计数器拨珠”理解位值原理，再到“数字符号”的抽象表示。 提问引导 ：通过精心设计的问题链，引导学生沿着阶梯向上思考。问题应从“你看到了什么？”“你是怎么做的？”（具体层）逐步过渡到“这说明了什么规律？”“能否用数学式子表示？”（抽象层）。 多元表征衔接 ：有意识地建立实物、操作、图形、文字、符号等多种表征方式之间的联系，并引导学生实现不同表征间的灵活转换。这有助于他们在具体与抽象之间建立牢固的联结。 搭建认知脚手架 ：在阶梯的关键转折点（如从具体实例归纳共性，或从直观描述转向严格定义时），提供必要的提示、范例或讨论框架，帮助学生克服思维障碍。 第四步：评估与调整抽象阶梯 抽象阶梯的有效性需要通过教学实践来检验和调整。 形成性评价 ：在教学的每个阶梯层级，通过观察、提问、学生作业等方式，判断大部分学生是否已顺利达到该层级的理解目标。如果发现学生普遍存在困难，可能意味着阶梯的坡度太陡，需要在当前层级之前或之间增加过渡台阶。 关注个体差异 ：认识到不同学生的抽象能力发展速度不同。课程设计应包含一定的弹性，为需要更多支持的学生提供更细致的阶梯分解（如增加更多实例或操作），为学有余力的学生提供向更高层次抽象挑战的机会（如思考概念的逆命题或更广泛的应用）。 总之，数学课程设计中的数学抽象阶梯构建，是一种将抽象的数学认知过程具体化、可视化的教学设计艺术。它强调遵循学生的认知规律，通过精心设计的层级化学习路径，帮助学生一步一个脚印地攀登数学抽象的高峰，从而深刻理解和掌握数学的本质。