遍历理论中的光滑遍历理论 光滑遍历理论是研究具有光滑结构的动力系统的遍历性质的学科。它将微分动力系统理论与遍历理论相结合，研究流形上光滑变换或流的不变测度、遍历性、混合性等统计性质。 1. 基本框架与研究对象 考虑紧致光滑流形 \(M\) 及其上的微分同胚 \(f: M \to M\)（或流 \(\phi_ t: M \to M\)） 关键问题：如何将遍历理论中的测度论结果（如遍历定理、熵）与微分结构（如导数、曲率）联系起来 核心工具：李雅普诺夫指数、稳定/不稳定流形、绝对连续叶状结构 2. 光滑不变测度的存在性与性质 问题：光滑系统是否必然存在"自然"的不变测度（如体积测度）？ 结论：若 \(f\) 是 \(C^1\) 微分同胚且保体积（即 \(|\det Df| \equiv 1\)），则体积测度不变 更一般地，可研究SRB测度（物理测度），即使系统不保体积，其条件熵仍与李雅普诺夫指数关联 3. 稳定/不稳定流形的绝对连续性 稳定流形 \(W^s(x)\) 与不稳定流形 \(W^u(x)\) 是光滑系统特有的几何结构 绝对连续性：沿不稳定流形的条件测度是绝对连续的（即与Lebesgue测度等价） 应用：证明系统具有遍历性（如Anosov系统的遍历性证明依赖此性质） 4. 佩辛公式与熵的产生 佩辛公式：对于 \(C^{1+\alpha}\) 微分同胚，若 \(\mu\) 是SRB测度，则度量熵 \(h_ \mu(f)\) 等于正李雅普诺夫指数之和 \[ h_ \mu(f) = \int_ M \sum_ {\lambda_ i(x)>0} \lambda_ i(x) \, d\mu(x) \] 意义：将信息论概念（熵）与动力系统局部扩张性（李雅普诺夫指数）直接关联 5. 非一致双曲系统的光滑遍历理论 关键进展：Pesin理论证明即使双曲性非一致（即李雅普诺夫指数非零但可能随时间变化），稳定/不稳定流形仍存在 方法：通过可测参数化构造局部稳定/不稳定流形，并证明其绝对连续性 应用：处理部分双曲系统或具有零指数但非零熵的系统 6. 刚性与刚体系统 问题：何时光滑系统的遍历性质完全由代数结构决定？ 例子：若 \(f\) 是环面双曲自同构，则Lebesgue测度是唯一光滑不变测度，且系统是伯努利的 刚性定理：若某些遍历性质（如熵、谱）与代数模型匹配，则系统本身必共轭于代数模型 7. 光滑遍历理论与统计性质 研究衰减关联、中心极限定理等统计性质如何依赖于光滑结构 关键工具：传递算子（转移算子）在适当函数空间（如Hölder空间）的谱性质 结果：对于一致扩张映射或Anosov流，关联函数以指数速度衰减 8. 开放问题与当前发展 部分双曲系统的分类问题：如何刻画具有非平凡中心丛的系统的遍历性质 光滑系统的随机扰动：研究小随机噪声下遍历性质的稳定性 高维系统的复杂性：当流形维数增加时，遍历性质如何随拓扑熵增长而变化 光滑遍历理论通过结合微分几何、分析学和概率方法，揭示了确定性动力系统中混沌行为的精细结构，成为现代动力系统理论的核心支柱之一。