方差互换（Variance Swap）
方差互换是一种金融衍生品，其收益取决于标的资产在合约期间的实际方差（波动率的平方）与事先约定的固定方差 strike 之间的差额。与期权不同，它直接对资产的波动率进行交易，而不依赖价格方向。下面我们逐步分解其核心知识。
第一步：基本概念与合约结构
方差互换的买方在合约到期时收到实际方差与约定方差的差额乘以名义本金。 payoff 公式为：
\[\text{Payoff} = N \times \left( \sigma_{\text{realized}}^2 - \sigma_{\text{strike}}^2 \right) \]
其中：
- \(N\) 为名义本金（通常以方差单位换算为货币价值），
- \(\sigma_{\text{realized}}^2\) 是合约期内标的资产收益率的实际方差，
- \(\sigma_{\text{strike}}^2\) 是预先约定的方差 strike。
实际方差通常按交易日收益率的平方和年化计算，例如：
\[\sigma_{\text{realized}}^2 = \frac{252}{T} \sum_{i=1}^{n} \left( \ln \frac{S_i}{S_{i-1}} \right)^2 \]
其中 \(T\) 为总交易日数，\(S_i\) 为资产价格。
第二步：实际方差的测量与细节
实际方差的计算需明确以下细节：
- 收益率定义：通常使用对数收益率 \(\ln(S_i/S_{i-1})\)。
- 年化因子：假设交易日收益率的方差在时间上独立，年化因子为 252（欧美市场）。
- 均值调整：理论上方差应围绕均值计算，但实践中常假设均值收益率为零（因收益率均值的平方很小，可忽略）。
- 合约条款：需约定观察频率（如每日）、节假日处理、极端事件调整（如“截断”最大单日收益避免异常值影响）。
第三步：定价原理——复制策略
方差互换的公平 strike \(\sigma_{\text{strike}}^2\) 应使合约初始价值为零。其定价核心是静态复制：通过连续权重的一篮子期权组合模拟方差收益。
- 关键公式：在无跳跃的扩散模型中（如 Black-Scholes），方差互换的公平 strike 等于远期起始的隐含方差：
\[\sigma_{\text{strike}}^2 = \frac{2}{T} e^{rT} \left[ \int_0^{F} \frac{P(K)}{K^2} dK + \int_F^{\infty} \frac{C(K)}{K^2} dK \right] \]
其中 \(F\) 为远期价格，\(P(K)\)、\(C(K)\) 为行权价 \(K\) 的欧式看跌/看涨期权价格，\(r\) 为无风险利率。
2. 直觉解释：期权组合的收益近似 \(\ln(S_T/S_0)\) 的二次项，而方差与收益率平方直接相关。
第四步：跳跃风险的影响
若资产价格存在跳跃（如财报公布、危机事件），实际方差可能显著偏离连续路径下的隐含方差。此时：
- 复制策略需加入跳跃补偿项，否则定价会有偏差。
- 实践中，方差互换的定价会参考方差风险溢价（即隐含方差通常高于实际实现方差，因投资者愿为波动率保险支付成本）。
第五步：对冲与管理
卖方需动态对冲方差风险：
- Delta 对冲：通过标的资产抵消价格方向风险。
- Vega 对冲：使用期权调整波动率暴露。
- Gamma 暴露：方差互换的收益与 Gamma 高度相关，因此常用于对冲期权组合的 Gamma 风险。
第六步：变体与相关产品
- 波动率互换：直接以波动率（非方差）结算，但因波动率非线性，定价更复杂。
- 方差互换期权：以方差互换本身为标的的期权。
- 相关性互换：多资产方差互换可衍生出对资产间相关性的交易。
通过以上步骤，方差互换从基础合约设计到复杂市场动态均被系统覆盖。其核心价值在于为波动率提供纯暴露工具，广泛应用于对冲、投机与资产组合优化。