马尔可夫链的漂移条件 第一步：引入漂移条件的基本概念 漂移条件是分析马尔可夫链长期行为的一种重要工具，尤其用于判断链的稳定性（如正常返性、遍历性）。其核心思想是构造一个非负函数（称为 漂移函数 或 Lyapunov函数 ），通过分析该函数在链一步转移后的期望变化（即“漂移”），推断链是否倾向于向状态空间的某个特定区域（通常称为“小集”）返回。 第二步：漂移条件的数学定义 设 \(\{X_ n\}\) 是状态空间 \(\mathcal{X}\) 上的马尔可夫链，\(V: \mathcal{X} \to [ 0, \infty)\) 是一个漂移函数。若存在常数 \(\lambda \in (0,1)\)、\(b > 0\) 及一个集合 \(C \subseteq \mathcal{X}\)，使得对所有 \(x \in \mathcal{X}\) 满足： \[ \mathbb{E}[ V(X_ {n+1}) \mid X_ n = x] \leq \lambda V(x) + b \cdot \mathbb{I}_ {\{x \in C\}}, \] 则称链满足 漂移条件 。其中 \(\mathbb{I}\) 为示性函数，\(C\) 通常为“小集”（如有限集或紧集）。该不等式表明： 在集合 \(C\) 外（即 \(x \notin C\)），函数 \(V\) 的期望值至少以比例 \(\lambda\) 收缩； 在 \(C\) 内，漂移可能增长，但幅度受 \(b\) 控制。 第三步：漂移条件与稳定性关系的直观解释 漂移条件通过“漂移”方向暗示链的回归性： 当链处于 \(C\) 外时，\(V(X_ n)\) 的期望值下降，推动链向 \(C\) 靠近； 一旦进入 \(C\)，链可能短暂偏离，但受条件约束不会无限远离； 若 \(C\) 满足一定的“小集”性质（如 petite 集），则可证明链是正常返的。 第四步：漂移条件的典型应用场景 证明正常返性 ：结合漂移条件与不可约性、非周期性，可推导出链存在唯一平稳分布。 估计收敛速率 ：通过优化漂移函数 \(V\) 和参数 \(\lambda, b\)，可量化链收敛到平稳分布的速度。 处理连续状态空间 ：漂移条件尤其适用于连续状态马尔可夫链（如随机微分方程生成的链），其中传统状态分类方法可能失效。 第五步：与其他工具的关联 漂移条件常与 Foster-Lyapunov 方法 结合，后者通过更一般的漂移不等式（如允许 \(V\) 无界）分析稳定性。此外，漂移条件也与 耦合方法 、 泊松方程 等工具联动，用于研究链的精细渐近行为（如中心极限定理成立条件）。 通过以上步骤，漂移条件将抽象的稳定性问题转化为对漂移函数的定量分析，成为研究复杂马尔可夫链的强大理论工具。