模的投射维数 我们先从模的基本概念开始。一个模是环上的代数结构，可以看作向量空间的推广，其中标量取自一个环而非域。给定一个环 \( R \) 和一个 \( R \)-模 \( M \)，我们关心如何用“简单”的模来理解 \( M \) 的结构。投射模就是这样一类“简单”的模，它具有良好的提升性质：对于任意满同态 \( p: N \to N'' \) 和同态 \( f: P \to N'' \)，若 \( P \) 是投射模，则存在同态 \( g: P \to N \) 使得 \( p \circ g = f \)。 一个模的投射维数衡量了它离投射模有多“远”。具体地，我们通过构造投射分解来定义它。\( M \) 的一个投射分解是一列投射模 \( P_ i \) 和同态 \( d_ i \)，构成一个正合序列： \[ \cdots \to P_ 2 \xrightarrow{d_ 2} P_ 1 \xrightarrow{d_ 1} P_ 0 \xrightarrow{\epsilon} M \to 0 \] 其中 \( \epsilon \) 是满射。这个分解可能无限长，但如果在某一步后所有 \( P_ n \) 都是零模，则分解是有限的。\( M \) 的投射维数，记为 \( \text{pd}(M) \)，是使得存在长度为 \( n \) 的投射分解的最小非负整数 \( n \)（即 \( P_ n \neq 0 \) 但 \( P_ {n+1} = P_ {n+2} = \cdots = 0 \)）。如果不存在这样的 \( n \)，则投射维数为无穷大。 投射维数可以通过Ext函子来刻画：\( \text{pd}(M) \leq n \) 当且仅当对所有 \( R \)-模 \( N \) 和所有 \( k > n \)，有 \( \text{Ext}^k_ R(M, N) = 0 \)。特别地，\( \text{pd}(M) = 0 \) 当且仅当 \( M \) 是投射模。 环 \( R \) 的整体维数是所有 \( R \)-模的投射维数的上确界，它反映了环的同调复杂性。例如，半单环的整体维数为0，主理想整环的整体维数为1，而更复杂的环可能有更高的整体维数。