*Calkin代数与本质谱*

1. 背景与动机

   • 在巴拿赫空间 \(X\) 上的有界线性算子全体 \(B(X)\) 中，紧算子构成一个闭理想 \(\mathcal{K}(X)\)。为了研究算子“模去紧算子”的性质，需要构造商代数 \(B(X)/\mathcal{K}(X)\)，称为 Calkin代数。
   • 目的：通过商代数将算子的谱分解为“离散部分”和“本质部分”，本质谱描述算子在紧扰动下的稳定性质。

2. Calkin代数的定义与结构

   • 设 \(X\) 是无限维巴拿赫空间，\(\mathcal{K}(X)\) 是 \(X\) 上紧算子全体。由于 \(\mathcal{K}(X)\) 是 \(B(X)\) 的闭理想，商空间 \(B(X)/\mathcal{K}(X)\) 依范数 \(\|[T]\| = \inf_{K \in \mathcal{K}(X)} \|T + K\|\) 构成巴拿赫代数，称为 Calkin 代数，记作 \(\mathcal{C}(X)\)。
   • 关键性质：Calkin 代数不可交换（当 \(X\) 维数无限），但具有单位元 \([I]\)（恒等算子的等价类）。

3. 本质谱的定义

   • 算子 \(T \in B(X)\) 的 本质谱 \(\sigma_e(T)\) 定义为在 Calkin 代数中对应的元素 \([T]\) 的谱：

\[ \sigma_e(T) = \sigma_{\mathcal{C}(X)}([T]) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : [T - \lambda I] \text{ 在 } \mathcal{C}(X) \text{ 中不可逆} \}. \]

• 等价描述：\(\lambda \notin \sigma_e(T)\) 当且仅当 \(T - \lambda I\) 是 Fredholm 算子（即值域闭、核与余核有限维）。

4. 本质谱的性质

   • 紧扰动不变性：对任意紧算子 \(K\)，有 \(\sigma_e(T) = \sigma_e(T + K)\)。这表明本质谱仅依赖于算子在 Calkin 代数中的等价类。
   • 谱包含关系：\(\sigma_e(T) \subseteq \sigma(T)\)，且 \(\sigma(T) \setminus \sigma_e(T)\) 由孤立的有限重特征值构成（当 \(X\) 是希尔伯特空间且 \(T\) 正规时）。
   • 谱映射定理：对任意复多项式 \(p\)，有 \(\sigma_e(p(T)) = p(\sigma_e(T))\).

5. 应用与意义

   • Fredholm 理论：本质谱的补集对应使 \(T - \lambda I\) 为 Fredholm 算子的 \(\lambda\)，其 Fredholm 指数（核维数减余核维数）在连通分支上为常数。
   • 物理应用：在量子力学中，本质谱描述系统连续能谱（如散射态），离散谱对应束缚态。
   • 非线性分析：在微分方程研究中，本质谱的性质用于判断线性化算子的可逆性，进而分析解的结构。

6. 例子

   • 希尔伯特空间上的乘法算子：设 \(H = L^2([0,1])\)，定义 \((Tf)(x) = x f(x)\)，则 \(\sigma(T) = [0,1]\)，且由于 \(T\) 是自伴的且无特征值，本质谱 \(\sigma_e(T) = [0,1]\)。
   • 移位算子：在 \(\ell^2(\mathbb{N})\) 上，右移算子 \(S\) 的谱为单位圆盘，但本质谱为单位圆周（因 \(S\) 是等距同构模紧算子）。