复变函数的伯格斯方程 我们先从伯格斯方程在实变函数中的经典形式开始。考虑一维的伯格斯方程： \[ u_ t + u u_ x = \nu u_ {xx} \] 其中 \( u(x,t) \) 是实值函数，表示物理量（如流速），\( \nu > 0 \) 是粘性系数。这是一个非线性偏微分方程，描述了粘性流体的波动行为。 为了将其引入复变函数领域，我们使用 科尔-霍普夫变换 。该变换通过引入一个势函数 \( \phi(x,t) \)，使得： \[ u = -2\nu \frac{\partial}{\partial x} \ln \phi \] 将上述表达式代入伯格斯方程，经过计算，非线性项会被消去，最终得到关于 \( \phi \) 的线性扩散方程： \[ \phi_ t = \nu \phi_ {xx} \] 这一步的关键在于，通过非线性变换，我们将一个难以求解的非线性方程转化为了一个可解的线性方程。 现在，我们进入复变函数的范畴。考虑解析函数 \( f(z) \)，其中 \( z = x + iy \)。若 \( f(z) \) 在某个区域内解析，则其实部 \( u(x,y) \) 和虚部 \( v(x,y) \) 满足柯西-黎曼方程，且都是调和函数。我们可以将一维的伯格斯方程推广到复平面上的形式。例如，考虑复变量 \( z \) 的复伯格斯方程： \[ w_ t + w w_ z = \nu w_ {zz} \] 其中 \( w(z,t) \) 是复值函数。此时，科尔-霍普夫变换同样适用，但需在复域中进行。设 \( w = -2\nu \frac{\partial}{\partial z} \ln \Phi \)，其中 \( \Phi(z,t) \) 是复值函数。代入方程后，非线性项同样被消去，得到复域中的线性方程： \[ \Phi_ t = \nu \Phi_ {zz} \] 由于 \( \Phi \) 是复函数，该方程的解可以通过复变函数的方法来构造，例如使用积分变换或分离变量法。 进一步地，我们可以研究复伯格斯方程的 孤立子解 。通过选取适当的初值条件，方程可以存在行波解，其形式在复平面上表现为具有特定传播特性的解析函数。这些解在复分析中常用于研究奇点的传播和相互作用。 最后，复伯格斯方程与 可积系统 理论紧密相关。在复域中，该方程通常具有Lax对表示，即存在一对线性微分算子，其相容性条件恰好是伯格斯方程。这为使用反散射变换等复变函数方法求解提供了基础，体现了非线性方程与复解析函数之间的深刻联系。