里斯-索伯列夫空间中的迹定理 1. 背景与动机 在实变函数论与偏微分方程理论中，我们经常需要研究定义在某个区域（通常是ℝⁿ中的开集）上的函数。一个基本问题是：如何描述一个函数在其区域边界上的行为？例如，当我们说一个函数在边界上取零值（狄利克雷边界条件）时，这个陈述对于一般的可积函数是意义不明的，因为边界通常是一个零测集，改变函数在一个零测集上的值不影响其积分（即作为L^p函数是等价的）。因此，我们需要一种严格的方式来定义函数在低维子集（如边界）上的“迹”。 2. 索伯列夫空间的简要回顾 为了定义迹，我们需要对函数本身施加一定的正则性条件。索伯列夫空间 W^{k,p}(Ω) 正是为此而设计的。回忆一下，对于一个开集 Ω ⊆ ℝⁿ，一个整数 k ≥ 0 和一个实数 1 ≤ p ≤ ∞，索伯列夫空间 W^{k,p}(Ω) 由所有这样的 L^p(Ω) 函数 u 构成：它的所有弱导数（或称分布导数） D^α u，直到阶数 |α| ≤ k，也都属于 L^p(Ω)。这个空间装备有范数 ‖u‖ {W^{k,p}} = (∑ {|α|≤k} ‖D^α u‖_ {L^p}^p)^{1/p}，使其成为一个巴拿赫空间。当 p=2 时，它是一个希尔伯特空间，通常记为 H^k(Ω)。 3. 迹算子的直观想法 现在考虑一个具有“光滑”边界 ∂Ω 的区域 Ω（例如，利普希茨区域）。我们希望定义一个线性算子 T，它将函数 u ∈ W^{k,p}(Ω) 映射到其边界上的某个函数 Tu，这个 Tu 代表了 u 在 ∂Ω 上的“限制”。这个算子 T 被称为迹算子。关键点在于： 对于非常光滑的函数 u ∈ C¹(Ω̅)（在闭包上连续可微），迹 Tu 就是通常的限制 u|∂Ω。 迹算子 T 需要是连续的吗？是的，我们希望它满足某种不等式，使得如果两个 W^{k,p} 函数在 Ω 内部很接近，那么它们的迹在边界上也应该很接近。 4. 迹定理的严格表述 迹定理的核心结论是：存在一个连续线性迹算子 T: W^{k,p}(Ω) → L^q(∂Ω) 其中，指标 k, p, n 和边界 ∂Ω 的维数 (n-1) 共同决定了目标空间 L^q(∂Ω) 中的指数 q。 最经典和重要的情形是 k=1。对于利普希茨区域 Ω ⊆ ℝⁿ 和 1 ≤ p < ∞，迹算子 T: W^{1,p}(Ω) → L^p* (∂Ω) 是连续线性的，并且是满射到某个更小的空间（称为迹空间）上。这里的临界指数 p* 由下式给出： p* = p(n-1)/(n-p)， 当 1 ≤ p < n。 当 p = n 时，迹在 L^q(∂Ω) 中对任意 q < ∞ 有定义，但未必在 L^∞(∂Ω) 中。 当 p > n 时，根据索伯列夫嵌入定理，函数本身已经是连续的（甚至霍尔德连续的），因此迹就是连续函数在边界上的限制。 5. 迹算子的性质 连续性（迹不等式） ：存在常数 C > 0，使得对所有 u ∈ W^{1,p}(Ω)，有 ‖Tu‖ {L^p* (∂Ω)} ≤ C ‖u‖ {W^{1,p}(Ω)}。这保证了“内部”的微小变化只会引起“边界”上迹的微小变化。 满射性 ：迹算子 T 将 W^{1,p}(Ω) 映射到边界上的一个索伯列夫型空间，通常记为 W^{1-1/p, p}(∂Ω)。这个空间严格小于 L^p* (∂Ω)，但比 L^p(∂Ω) 有更多的正则性。并且，存在一个连续的延拓算子，将边界上的函数拉回到整个区域上。这表明边界上的任何足够光滑的函数，都可以被实现为某个 W^{1,p}(Ω) 函数的迹。 零迹空间 ：迹定理的一个极其重要的应用是定义了零迹索伯列夫空间 W₀^{1,p}(Ω)。这个空间可以定义为所有迹为零的 W^{1,p}(Ω) 函数的集合：W₀^{1,p}(Ω) = { u ∈ W^{1,p}(Ω) : Tu = 0 }。这个空间在解决带有齐次狄利克雷边界条件的偏微分方程时起着核心作用。 6. 总结与意义 迹定理是连接区域内部函数性质与其边界行为的关键桥梁。它确保了对于索伯列夫函数（其本身可能甚至不连续），我们仍然可以以一种连续且一致的方式谈论它在边界上的值。这为变分法、偏微分方程理论（特别是边值问题）和数值分析奠定了严格的基础。没有迹定理，像“在边界上取零值”这样的常见边界条件将无法被精确地表述。