张量代数

字数 3004 2025-11-10 08:33:02

张量代数

张量代数是线性代数与多重线性代数中的一个基本构造，它提供了一种系统的方法，从给定的向量空间生成一个结合代数。这个代数包含了该向量空间的所有张量积。

第一步：回顾张量积的概念

要理解张量代数，首先需要理解向量空间的张量积。给定一个域 $ F $（例如实数域 $ \mathbb{R} $ 或复数域 $ \mathbb{C} $）上的两个向量空间 $ V $ 和 $ W $，它们的张量积 $ V \otimes W $ 是一个新的向量空间。

这个新空间中的元素称为张量，形式上是由形如 $ v \otimes w $（其中 $ v \in V, w \in W $）的符号生成的，但需要满足下列双线性关系：
对于任意的 $ v, v_1, v_2 \in V $，$ w, w_1, w_2 \in W $ 和标量 $ a \in F $，有：

$ (v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w $
$ v \otimes (w_1 + w_2) = v \otimes w_1 + v \otimes w_2 $
$ (a v) \otimes w = v \otimes (a w) = a (v \otimes w) $

直观上，张量积将两个向量空间“组合”成一个新的空间，其中的运算强制为双线性。一个向量 $ v \otimes w $ 称为纯张量。但请注意，并非 $ V \otimes W $ 中的所有元素都是纯张量形式，大多数元素是纯张量的线性组合。

第二步：定义多重张量积

张量代数的思想是考虑向量空间 $ V $ 与自身进行任意次数的张量积。

0次张量积：我们约定 $ V^{\otimes 0} = F $，即基域本身。它的元素可以看作是标量。
1次张量积：$ V^{\otimes 1} = V $。
2次张量积：$ V^{\otimes 2} = V \otimes V $。
r次张量积：$ V^{\otimes r} = V \otimes V \otimes \dots \otimes V $（共有 $ r $ 个 $ V $）。

空间 $ V^{\otimes r} $ 中的元素称为 $ r $-阶张量。例如，一个2阶张量是 $ V \otimes V $ 中的一个元素，它可以表示为纯张量 $ v_1 \otimes v_2 $ 的线性组合。

第三步：构造张量代数

现在，我们将所有这些不同阶数的张量积空间“直和”在一起，形成一个巨大的分次向量空间：

\[ T(V) = \bigoplus_{r=0}^{\infty} V^{\otimes r} = F \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \dots \ \]

这个空间 $ T(V) $ 的每一个元素，都是一个形式和的序列 $ (a_0, a_1, a_2, \dots) $，其中 $ a_r \in V^{\otimes r} $，并且只有有限多个 $ a_r $ 是非零的（这是直和的含义）。

第四步：定义乘法运算

$ T(V) $ 的关键在于我们可以给它定义一个自然的乘法，使其成为一个结合代数。这个乘法通过 张量积 来定义。

具体来说，我们定义一个双线性映射：
\

\[ \otimes: T(V) \times T(V) \to T(V) \ \]

它由在齐次元素（即单个 $ V^{\otimes r} $ 中的元素）上的作用所决定。如果 $ x \in V^{\otimes p} $ 是一个 $ p $-阶张量，$ y \in V^{\otimes q} $ 是一个 $ q $-阶张量，那么它们的乘积定义为：
\

\[ x \otimes y := x \otimes y \in V^{\otimes (p+q)} \ \]

等式右边的 $ \otimes $ 是张量积的自然结合，它将一个 $ p $-阶张量和一个 \$ q $-阶张量“拼接”成一个 \$ (p+q) $-阶张量。

例如：

标量乘法：如果 $ a \in F = V^{\otimes 0} $ 和 $ v \in V = V^{\otimes 1} $，则 $ a \otimes v = a v \in V $（标量乘法）。
向量相乘：如果 $ v, w \in V $，则 $ v \otimes w \in V^{\otimes 2} $。
不同阶数相乘：如果 $ v \in V $ 且 $ t \in V^{\otimes 2} $，则 $ v \otimes t \in V^{\otimes 3} $。

这个乘法是结合的，但不是交换的。例如，一般来说 $ v \otimes w \neq w \otimes v $。

因此，装备了这种乘法运算的 $ T(V) $ 被称为向量空间 $ V $ 上的 张量代数。

第五步：泛性质与重要性

张量代数的重要性在于它的 泛性质。它是以最自由的方式由 $ V $ 生成的结合代数。

精确地说：设 $ i: V \to T(V) $ 是包含映射（将 $ V $ 视为 $ T(V) $ 的 $ V^{\otimes 1} $ 分量）。那么，对于任意另一个结合 $ F $-代数 $ A $ 以及任意一个线性映射 $ f: V \to A $，都存在唯一的代数同态 $ \tilde{f}: T(V) \to A $，使得下图交换：
\

\[ \begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{i} & T(V) \\\\ f \downarrow & & \downarrow \exists! \tilde{f} \\\\ A & = & A \end{array} \ \]

这意味着，从向量空间 $ V $ 到一个代数 $ A $ 的任意线性映射，都可以唯一地扩展为从整个张量代数 $ T(V) $ 到 $ A $ 的代数同态。

这个泛性质体现了“自由性”：$ T(V) $ 中的元素之间除了结合代数所要求的关系外，没有其他额外的关系。许多重要的代数，如外代数、对称代数，都是通过给张量代数施加某种关系（如反对称性 $ v \otimes w = -w \otimes v $ 或对称性 $ v \otimes w = w \otimes v $）而得到的商代数。

张量代数张量代数是线性代数与多重线性代数中的一个基本构造，它提供了一种系统的方法，从给定的向量空间生成一个结合代数。这个代数包含了该向量空间的所有张量积。第一步：回顾张量积的概念要理解张量代数，首先需要理解向量空间的张量积。给定一个域 \$ F \$（例如实数域 \$ \mathbb{R} \$ 或复数域 \$ \mathbb{C} \$）上的两个向量空间 \$ V \$ 和 \$ W \$，它们的张量积 \$ V \otimes W \$ 是一个新的向量空间。这个新空间中的元素称为张量，形式上是由形如 \$ v \otimes w \$（其中 \$ v \in V, w \in W \$）的符号生成的，但需要满足下列双线性关系：对于任意的 \$ v, v_ 1, v_ 2 \in V \$，\$ w, w_ 1, w_ 2 \in W \$ 和标量 \$ a \in F \$，有： \$ (v_ 1 + v_ 2) \otimes w = v_ 1 \otimes w + v_ 2 \otimes w \$ \$ v \otimes (w_ 1 + w_ 2) = v \otimes w_ 1 + v \otimes w_ 2 \$ \$ (a v) \otimes w = v \otimes (a w) = a (v \otimes w) \$ 直观上，张量积将两个向量空间“组合”成一个新的空间，其中的运算强制为双线性。一个向量 \$ v \otimes w \$ 称为纯张量。但请注意，并非 \$ V \otimes W \$ 中的所有元素都是纯张量形式，大多数元素是纯张量的线性组合。第二步：定义多重张量积张量代数的思想是考虑向量空间 \$ V \$ 与自身进行任意次数的张量积。 0次张量积：我们约定 \$ V^{\otimes 0} = F \$，即基域本身。它的元素可以看作是标量。 1次张量积：\$ V^{\otimes 1} = V \$。 2次张量积：\$ V^{\otimes 2} = V \otimes V \$。 r次张量积：\$ V^{\otimes r} = V \otimes V \otimes \dots \otimes V \$（共有 \$ r \$ 个 \$ V \$）。空间 \$ V^{\otimes r} \$ 中的元素称为 \$ r \$-阶张量。例如，一个2阶张量是 \$ V \otimes V \$ 中的一个元素，它可以表示为纯张量 \$ v_ 1 \otimes v_ 2 \$ 的线性组合。第三步：构造张量代数现在，我们将所有这些不同阶数的张量积空间“直和”在一起，形成一个巨大的分次向量空间： \\[ T(V) = \bigoplus_ {r=0}^{\infty} V^{\otimes r} = F \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \dots \\ ] 这个空间 \$ T(V) \$ 的每一个元素，都是一个形式和的序列 \$ (a_ 0, a_ 1, a_ 2, \dots) \$，其中 \$ a_ r \in V^{\otimes r} \$，并且只有有限多个 \$ a_ r \$ 是非零的（这是直和的含义）。第四步：定义乘法运算 \$ T(V) \$ 的关键在于我们可以给它定义一个自然的乘法，使其成为一个结合代数。这个乘法通过张量积来定义。具体来说，我们定义一个双线性映射： \\[ \otimes: T(V) \times T(V) \to T(V) \\ ] 它由在齐次元素（即单个 \$ V^{\otimes r} \$ 中的元素）上的作用所决定。如果 \$ x \in V^{\otimes p} \$ 是一个 \$ p \$-阶张量，\$ y \in V^{\otimes q} \$ 是一个 \$ q $-阶张量，那么它们的乘积定义为： \\[ x \otimes y := x \otimes y \in V^{\otimes (p+q)} \\ ] 等式右边的 \$ \otimes \$ 是张量积的自然结合，它将一个 \$ p $-阶张量和一个 \$ q $-阶张量“拼接”成一个 \$ (p+q) \$-阶张量。例如：标量乘法：如果 \$ a \in F = V^{\otimes 0} \$ 和 \$ v \in V = V^{\otimes 1} \$，则 \$ a \otimes v = a v \in V \$（标量乘法）。向量相乘：如果 \$ v, w \in V \$，则 \$ v \otimes w \in V^{\otimes 2} \$。不同阶数相乘：如果 \$ v \in V \$ 且 \$ t \in V^{\otimes 2} \$，则 \$ v \otimes t \in V^{\otimes 3} \$。这个乘法是结合的，但不是交换的。例如，一般来说 \$ v \otimes w \neq w \otimes v \$。因此，装备了这种乘法运算的 \$ T(V) \$ 被称为向量空间 \$ V \$ 上的张量代数。第五步：泛性质与重要性张量代数的重要性在于它的泛性质。它是以最自由的方式由 \$ V \$ 生成的结合代数。精确地说：设 \$ i: V \to T(V) \$ 是包含映射（将 \$ V \$ 视为 \$ T(V) \$ 的 \$ V^{\otimes 1} \$ 分量）。那么，对于任意另一个结合 \$ F \$-代数 \$ A \$ 以及任意一个线性映射 \$ f: V \to A \$，都存在唯一的代数同态 \$ \tilde{f}: T(V) \to A \$，使得下图交换： \\[ \begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{i} & T(V) \\\\ f \downarrow & & \downarrow \exists ! \tilde{f} \\\\ A & = & A \end{array} \\ ] 这意味着，从向量空间 \$ V \$ 到一个代数 \$ A \$ 的任意线性映射，都可以唯一地扩展为从整个张量代数 \$ T(V) \$ 到 \$ A \$ 的代数同态。这个泛性质体现了“自由性”：\$ T(V) \$ 中的元素之间除了结合代数所要求的关系外，没有其他额外的关系。许多重要的代数，如外代数、对称代数，都是通过给张量代数施加某种关系（如反对称性 \$ v \otimes w = -w \otimes v \$ 或对称性 \$ v \otimes w = w \otimes v \$）而得到的商代数。