好的，我们开始学习一个新的词条。 复变函数的伯格斯方程 我们首先从一个几何问题出发。想象一下，在复平面上有一个非常光滑的曲线族。伯格斯方程描述的是，在什么条件下，我们可以找到一个 保形映射 （你已经学过），将这个曲线族映射为一族平行直线。 更具体地说，设 w = f(z) 是一个全纯函数（即解析函数）。我们考虑它的 水平曲线 ，即满足 Im(f(z)) = 常数 的曲线，以及 垂直曲线 ，即满足 Re(f(z)) = 常数 的曲线。根据柯西-黎曼方程，这两族曲线是相互正交的。 现在，我们提出一个相反的问题：如果我们在复平面上给定了两族相互正交的曲线，是否存在一个全纯函数 f(z) ，使得这两族曲线恰好是 f 的实部等值线和虚部等值线？伯格斯方程就是回答这个问题的关键。 它描述的是函数 f 的 对数导数 f''(z) / f'(z) 所满足的一个微分方程。这个方程将函数的几何性质（即其映射下的曲线族形态）与一个简单的解析条件联系了起来。接下来，我们将一步步推导并理解这个重要的方程。