环的幂等元 1. 基本定义 在环 \( R \) 中，若元素 \( e \) 满足 \( e^2 = e \)，则称 \( e \) 为 幂等元 。例如，在整数环 \( \mathbb{Z} \) 中，0 和 1 是幂等元；在矩阵环 \( M_ n(\mathbb{C}) \) 中，投影矩阵（如对角线上仅有 0 或 1 的对角矩阵）是幂等元。 2. 平凡与非平凡幂等元 环中的加法单位元 \( 0 \) 和乘法单位元 \( 1 \)（若存在）总是幂等元，称为 平凡幂等元 。 若环中存在其他幂等元 \( e \notin \{0,1\} \)，则称其为 非平凡幂等元 。例如，在环 \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) 中，元素 \( 3 \) 满足 \( 3^2 = 9 \equiv 3 \pmod{6} \)，故为非平凡幂等元。 3. 幂等元的性质 正交性 ：若两个幂等元 \( e, f \) 满足 \( ef = fe = 0 \)，则称它们正交。例如，在矩阵环中，投影到正交子空间的投影矩阵是正交幂等元。 中心幂等元 ：若幂等元 \( e \) 与所有环元素交换（即 \( e \in Z(R) \)），则称其为中心幂等元。中心幂等元在环的直积分解中起关键作用。 4. 幂等元与环的分解 若环 \( R \) 存在非平凡幂等元 \( e \)，则 \( R \) 可分解为两个理想的直和： \[ R = eR \oplus (1-e)R, \] 其中 \( eR \) 和 \( (1-e)R \) 也是环（具单位元 \( e \) 和 \( 1-e \)）。例如，若 \( R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \)，取 \( e=3 \)，则 \( R \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \)。 5. 幂等元在模论中的应用 若 \( M \) 是环 \( R \) 上的模，且存在幂等元 \( e \)，则模可分解为： \[ M = eM \oplus (1-e)M, \] 其中 \( eM \) 是子模。这反映了幂等元对应的投影算子对模的直和分解。 6. 幂等元与表示论 在群表示论中，群代数 \( \mathbb{C}[ G ] \) 的幂等元对应不可约表示的投影算子。Maschke 定理保证半单代数中幂等元的存在性，用于分解表示。 7. 幂等元的提升性 若 \( I \) 是环 \( R \) 的幂零理想（即 \( I^n = 0 \) 对某 \( n \)），则幂等元在商环 \( R/I \) 中的像可提升至 \( R \)。这一性质在完備化与变形理论中重要。 8. 幂等元与范畴论 在加法范畴中，幂等态射 \( e: X \to X \)（满足 \( e^2 = e \)）若分裂（即存在分解 \( X \cong Y \oplus Z \) 使 \( e \) 为到 \( Y \) 的投影），则对应对象的直和分解。这在导出范畴与 \( K \)-理论中有应用。 通过以上步骤，幂等元的概念从基本定义逐步扩展到环结构、模论、表示论及范畴论中的深层应用。