图的连通度与可靠性分析 图的连通度是衡量图中顶点之间连接紧密程度的重要参数，它描述了使图变得不连通所需移除的最少顶点数或边数。可靠性分析则研究图在随机边或顶点故障下保持连通性的概率。以下将逐步介绍相关概念。 1. 基本定义与分类 顶点连通度（κ(G)） ：使图G不连通或变为平凡图所需移除的最少顶点数。若κ(G) ≥ k，称G是 k-顶点连通 的。 边连通度（λ(G)） ：使图G不连通所需移除的最少边数。若λ(G) ≥ k，称G是 k-边连通 的。 平凡情况 ：完全图Kₙ的顶点连通度为n-1（移除少于n-1个顶点后仍连通），边连通度也为n-1。 2. 连通度的性质与关系 Whitney不等式 ：对任意非平凡图G，有κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)，其中δ(G)为最小度。例如，树T满足κ(T)=λ(G)=1，因移除任意叶子顶点或边即可断开图。 门格尔定理 ：顶点连通度k等价于图中任意两顶点间存在k条内部不相交的路径（路径除端点外无公共顶点）。边连通度类似，但要求边不相交。 3. 可靠性分析模型 网络可靠性 ：假设图G的边以概率p独立失效，研究G保持连通的概率R(G,p)。例如，树T有n个顶点，若边失效概率为q=1-p，则R(T,p)=pⁿ⁻¹（所有边必须正常）。 分治策略 ：利用图的小割集计算可靠性。若G有边割集C={e₁,...,eₘ}，则R(G,p)=p⋅R(G/e₁,p) + (1-p)⋅R(G-e₁,p)，其中G/e₁为收缩边e₁后的图。 4. 高连通图的构造与判定 Harary图 ：一种最小度达到连通度要求的极图。例如，H_ {k,n}是k-连通图，且边数最少，构造方式为将n个顶点排列成圆圈，每个顶点连接左右各⌊k/2⌋个顶点。 判定算法 ：通过最大流算法验证k-连通性。对任意顶点s,t，计算最大流（等价于内部不相交路径数），若均≥k则图是k-连通的。 5. 应用与扩展 通信网络 ：k-连通图能容忍k-1个路由器故障。例如，互联网骨干网需满足2-连通或3-连通。 概率连通度 ：若边失效概率相同，可靠性R(G,p)是p的多项式，可通过容斥原理或分解定理计算。 通过以上步骤，可系统理解图连通度的量化方法及可靠性分析工具，为网络设计提供理论保障。