赫斯顿模型下的期权定价

字数 2399 2025-11-10 05:54:04

赫斯顿模型下的期权定价

赫斯顿模型是随机波动率模型的典型代表，它通过引入随机波动的方差过程，使模型能够捕捉金融市场中的波动率聚集、波动率微笑（smile）和偏斜（skew）等现象。下面我们将从基础假设到定价方法逐步展开讲解。

1. 模型的基本设定

赫斯顿模型假设资产价格 \(S_t\) 和其方差 \(v_t\) 分别服从以下随机微分方程（SDE）：

\[dS_t = \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_t^1, \]

\[dv_t = \kappa (\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_t^2, \]

其中：

\(\mu\) 为资产收益率（风险中性下通常替换为无风险利率 \(r\)）；
\(\kappa\) 是方差回归速度（均值回归强度）；
\(\theta\) 是长期平均方差；
\(\sigma\) 是波动率的波动率（vol-of-vol）；
\(dW_t^1\) 和 \(dW_t^2\) 是相关的布朗运动，满足 \(dW_t^1 dW_t^2 = \rho dt\)。

关键创新：方差 \(v_t\) 本身是一个随机过程（CIR过程），且与资产价格相关（\(\rho \neq 0\)），这打破了布莱克-斯科尔斯模型中常数波动率的局限。

2. 风险中性定价框架

在风险中性测度 \(\mathbb{Q}\) 下，模型变为：

\[dS_t = r S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_t^{1,\mathbb{Q}}, \]

\[dv_t = \kappa^* (\theta^* - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_t^{2,\mathbb{Q}}, \]

其中 \(\kappa^* = \kappa + \lambda\)（\(\lambda\) 为波动率风险的市场价格），\(\theta^* = \kappa\theta / (\kappa + \lambda)\)。实践中常直接估计风险中性参数。

3. 特征函数与期权定价公式

赫斯顿模型的核心优势在于其特征函数有解析解。定义对数资产价格 \(x_t = \ln S_t\)，其条件特征函数为：

\[\phi(u; t, T) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[ e^{i u x_T} \mid x_t, v_t \right] = e^{C(u,\tau) + D(u,\tau) v_t + i u x_t}, \]

其中 \(\tau = T-t\)，函数 \(C(u,\tau)\) 和 \(D(u,\tau)\) 通过求解Ricatti方程得到：

\[D(u,\tau) = \frac{1}{\sigma^2} \frac{a (1-e^{-d\tau})}{1-g e^{-d\tau}}, \quad C(u,\tau) = i u r \tau + \frac{\kappa\theta}{\sigma^2} \left[ (a-d)\tau - 2\ln\left( \frac{1-g e^{-d\tau}}{1-g} \right) \right], \]

\[a = \kappa^* - i u \rho \sigma, \quad d = \sqrt{a^2 + \sigma^2 (i u + u^2)}, \quad g = \frac{a-d}{a+d}. \]

4. 基于傅里叶反演的期权定价

利用特征函数，可通过傅里叶反演计算欧式看涨期权价格：

\[C(S_t, v_t, K, T) = S_t P_1 - K e^{-r\tau} P_2, \]

其中 \(P_1\) 和 \(P_2\) 分别对应在风险中性测度下资产价格大于行权价 \(K\) 的概率，具体为：

\[P_j = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \Re \left[ \frac{e^{-i u \ln K} \phi_j(u)}{i u} \right] du, \quad j=1,2. \]

这里 \(\phi_1(u) = \phi(u-i; t, T) / \phi(-i; t, T)\)，\(\phi_2(u) = \phi(u; t, T)\)。

5. 数值实现与校准

实际应用中需解决以下问题：

积分截断：傅里叶反演需在有限区间 \([0, U_{\text{max}}]\) 数值积分，通常用自适应积分或余弦展开（COS方法）加速。
参数校准：通过最小化模型隐含波动率与市场隐含波动率的误差，估计 \(\kappa, \theta, \sigma, \rho, v_0\)。常用优化算法（如Levenberg-Marquardt）处理病态问题。
Feller条件：需满足 \(2\kappa\theta > \sigma^2\) 以防止方差触及零，但市场数据常违反此条件，需谨慎处理边界行为。

6. 扩展与局限性

扩展：
- 加入跳跃过程（Bates模型）进一步捕捉尖峰厚尾；
- 多因子随机波动率模型（如双方差过程）提升灵活性。
局限性：
- 对极端期限或深虚值期权的定价偏差可能仍显著；
- 校准结果对初始值敏感，可能陷入局部最优。

通过以上步骤，赫斯顿模型将随机波动率与傅里叶方法结合，为期权定价提供了更贴近市场的理论工具。

赫斯顿模型下的期权定价赫斯顿模型是随机波动率模型的典型代表，它通过引入随机波动的方差过程，使模型能够捕捉金融市场中的波动率聚集、波动率微笑（smile）和偏斜（skew）等现象。下面我们将从基础假设到定价方法逐步展开讲解。 1. 模型的基本设定赫斯顿模型假设资产价格 \( S_ t \) 和其方差 \( v_ t \) 分别服从以下随机微分方程（SDE）： \[ dS_ t = \mu S_ t dt + \sqrt{v_ t} S_ t dW_ t^1, \] \[ dv_ t = \kappa (\theta - v_ t) dt + \sigma \sqrt{v_ t} dW_ t^2, \] 其中： \( \mu \) 为资产收益率（风险中性下通常替换为无风险利率 \( r \)）； \( \kappa \) 是方差回归速度（均值回归强度）； \( \theta \) 是长期平均方差； \( \sigma \) 是波动率的波动率（vol-of-vol）； \( dW_ t^1 \) 和 \( dW_ t^2 \) 是相关的布朗运动，满足 \( dW_ t^1 dW_ t^2 = \rho dt \)。关键创新：方差 \( v_ t \) 本身是一个随机过程（CIR过程），且与资产价格相关（\( \rho \neq 0 \)），这打破了布莱克-斯科尔斯模型中常数波动率的局限。 2. 风险中性定价框架在风险中性测度 \( \mathbb{Q} \) 下，模型变为： \[ dS_ t = r S_ t dt + \sqrt{v_ t} S_ t dW_ t^{1,\mathbb{Q}}, \] \[ dv_ t = \kappa^* (\theta^* - v_ t) dt + \sigma \sqrt{v_ t} dW_ t^{2,\mathbb{Q}}, \] 其中 \( \kappa^* = \kappa + \lambda \)（\( \lambda \) 为波动率风险的市场价格），\( \theta^* = \kappa\theta / (\kappa + \lambda) \)。实践中常直接估计风险中性参数。 3. 特征函数与期权定价公式赫斯顿模型的核心优势在于其特征函数有解析解。定义对数资产价格 \( x_ t = \ln S_ t \)，其条件特征函数为： \[ \phi(u; t, T) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[ e^{i u x_ T} \mid x_ t, v_ t \right] = e^{C(u,\tau) + D(u,\tau) v_ t + i u x_ t}, \] 其中 \( \tau = T-t \)，函数 \( C(u,\tau) \) 和 \( D(u,\tau) \) 通过求解Ricatti方程得到： \[ D(u,\tau) = \frac{1}{\sigma^2} \frac{a (1-e^{-d\tau})}{1-g e^{-d\tau}}, \quad C(u,\tau) = i u r \tau + \frac{\kappa\theta}{\sigma^2} \left[ (a-d)\tau - 2\ln\left( \frac{1-g e^{-d\tau}}{1-g} \right) \right ], \] \[ a = \kappa^* - i u \rho \sigma, \quad d = \sqrt{a^2 + \sigma^2 (i u + u^2)}, \quad g = \frac{a-d}{a+d}. \] 4. 基于傅里叶反演的期权定价利用特征函数，可通过傅里叶反演计算欧式看涨期权价格： \[ C(S_ t, v_ t, K, T) = S_ t P_ 1 - K e^{-r\tau} P_ 2, \] 其中 \( P_ 1 \) 和 \( P_ 2 \) 分别对应在风险中性测度下资产价格大于行权价 \( K \) 的概率，具体为： \[ P_ j = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_ 0^\infty \Re \left[ \frac{e^{-i u \ln K} \phi_ j(u)}{i u} \right ] du, \quad j=1,2. \] 这里 \( \phi_ 1(u) = \phi(u-i; t, T) / \phi(-i; t, T) \)，\( \phi_ 2(u) = \phi(u; t, T) \)。 5. 数值实现与校准实际应用中需解决以下问题：积分截断：傅里叶反演需在有限区间 \( [ 0, U_ {\text{max}} ] \) 数值积分，通常用自适应积分或余弦展开（COS方法）加速。参数校准：通过最小化模型隐含波动率与市场隐含波动率的误差，估计 \( \kappa, \theta, \sigma, \rho, v_ 0 \)。常用优化算法（如Levenberg-Marquardt）处理病态问题。 Feller条件：需满足 \( 2\kappa\theta > \sigma^2 \) 以防止方差触及零，但市场数据常违反此条件，需谨慎处理边界行为。 6. 扩展与局限性扩展：加入跳跃过程（Bates模型）进一步捕捉尖峰厚尾；多因子随机波动率模型（如双方差过程）提升灵活性。局限性：对极端期限或深虚值期权的定价偏差可能仍显著；校准结果对初始值敏感，可能陷入局部最优。通过以上步骤，赫斯顿模型将随机波动率与傅里叶方法结合，为期权定价提供了更贴近市场的理论工具。