可测集 可测集是实变函数论和测度论中最基本的概念之一，它构成了定义测度和积分的基础。下面我将循序渐进地讲解这个概念。 第一步：为什么要引入可测集？——从长度到测度 在数学分析中，我们很熟悉区间（如 [ a, b ]）的长度，它就是 b - a。但我们常常需要度量更复杂的点集（比如有理数集、康托尔集等）的“大小”。直接推广“长度”的概念会遇到困难，例如，我们无法给实数轴上的所有子集都赋予一个满足“可数可加性”等良好性质的“长度”（这由维塔利定理等结果保证）。因此，我们需要明智地选择一部分子集来定义测度，这些被选中的子集就称为“可测集”。简单来说，可测集就是那些我们可以“很好地”度量其大小的集合。 第二步：可测集的定义——基于外测度 最常见的可测集是勒贝格可测集。其定义基于“外测度”的概念。 勒贝格外测度 (m* ) ：对于实数轴 R 的任意子集 E，我们定义其勒贝格外测度为： \( m^* (E) = \inf \left\{ \sum_ {k=1}^{\infty} l(I_ k) : E \subset \bigcup_ {k=1}^{\infty} I_ k \right\} \) 其中，{I_ k} 是一列开区间，l(I_ k) 是区间 I_ k 的长度。这个定义很直观：我们用一列开区间去覆盖集合 E，这些区间长度之和的下确界（最大下界）就是 E 的“外部近似”大小。 卡拉克多德条件 (Carathéodory Criterion) ：一个集合 E ⊂ R 被称为勒贝格可测的，如果对于 R 的任意子集 A，都满足以下条件： \( m^ (A) = m^ (A \cap E) + m^* (A \cap E^c) \) 其中 E^c 是 E 的补集。这个条件的直观解释是：集合 E 能够将任意测试集 A “干净利落”地分成两部分（A∩E 和 A∩E^c），使得这两部分的外测度之和等于 A 的总外测度。这意味着 E 的边界是“足够规则”的，不会引起测度上的“干涉”或“重叠”。 第三步：可测集的性质——构成一个σ-代数 所有勒贝格可测集的全体记作 𝓛。它具有非常好的代数结构： σ-代数 ：𝓛 是一个 σ-代数。这意味着： 整个空间 R 是可测的。 如果 E 可测，那么它的补集 E^c 也可测。 如果 {E_ n} 是一列可测集，那么它们的并集 ∪E_ n 也是可测的。 （由以上性质可推出，可数个可测集的交集也是可测的。） 可测集的测度 ：对于可测集 E，我们定义其勒贝格测度 m(E) 就等于它的外测度 m* (E)。测度 m 在 𝓛 上具有可数可加性：如果 {E_ n} 是一列互不相交的可测集，那么 m(∪E_ n) = Σm(E_ n)。这是测度论的核心性质。 第四步：哪些集合是可测的？——例子与非例子 常见的可测集 ： 所有的开集和闭集都是可测的。这包括了所有的区间（开、闭、半开半闭）。 可数集（如有理数集 Q）是可测的，并且其测度为 0。 博雷尔集（由所有开集通过可数次并、交、补运算生成的集合）都是可测集。博雷尔集构成了一个σ-代数，但勒贝格可测集比博雷尔集更多。 博雷尔集的任何子集如果外测度为0（即零测集），那么它也是可测的（测度为0）。勒贝格可测集本质上可以看作是博雷尔集与某个零测集的并集（或差集）。 非可测集的例子 ：存在不是勒贝格可测的集合。最经典的例子是使用选择公理构造的维塔利集 (Vitali set)。这个集合无法满足卡拉克多德条件，如果强行给它赋予测度，会破坏测度的平移不变性或可数可加性。 第五步：可测集与可测函数的关系 可测集的概念是定义可测函数的基础。一个函数 f: R -> R 被称为（勒贝格）可测的，如果对于任意实数 c，集合 {x : f(x) > c} 是一个勒贝格可测集。简单来说，函数的“上水平集”都是可测的。可测函数是勒贝格积分理论中可以进行积分操作的函数类。 总结来说，可测集是那些边界“足够好”、可以被勒贝格测度合理度量的集合。它们构成了一个包含所有常见集合的σ-代数，是建立现代积分理论的基石。