弱紧性（Weak Compactness） 弱紧性是泛函分析中描述集合在弱拓扑下紧性的重要概念。首先需要理解弱拓扑：在赋范空间X中，弱拓扑是使所有连续线性泛函f∈X* 都连续的最弱拓扑。一个集合称为弱紧的，如果它在弱拓扑下是紧集（即任意开覆盖存在有限子覆盖）。 第一步：弱拓扑的回顾与弱收敛 弱拓扑由邻域基定义：对x₀∈X，邻域为{ x∈X | |fᵢ(x-x₀)|<ε, i=1,...,n }，其中fᵢ∈X* 序列弱收敛xₙ⇀x意味着∀f∈X* , f(xₙ)→f(x) 第二步：弱紧性的基本特征 在自反Banach空间中（X=X** ），单位闭球是弱紧的（Eberlein-Šmulian定理的特例） 弱紧集必是弱有界且弱闭的，但反之不成立 通过Tychonoff定理，乘积空间的弱紧性可转化为坐标空间的弱紧性 第三步：Eberlein-Šmulian定理的核心内容 该定理建立了三种弱紧性的等价性： a) 集合A是弱紧的（即弱拓扑下紧） b) A是序列弱紧的（任意序列有弱收敛子列） c) A是极限点紧的（任意无穷子集有弱聚点） 注：该定理在无限维空间揭示了弱拓扑与序列收敛的微妙关系 第四步：弱紧性的判别工具 James定理：Banach空间X自反当且仅当每个连续线性泛函在单位球上达到最大值 Krein-Šmulian定理：凸集的弱闭包保持弱紧性 通过角谷定理（Kakutani）可证明一致凸空间的单位球是弱紧 第五步：在算子理论中的应用 Gelfand积分：弱紧算子集合的刻画 Dunford-Pettis性质：L¹空间中等度绝对连续函数集的弱紧性 在变分法中，弱紧性保证极小化序列的存在性 弱紧性理论通过将有限维的Heine-Borel定理推广到无限维空间，为分析弱收敛序列的极限行为提供了关键框架。