数学中“变分法”的诞生与发展 第一步：问题的起源——最速降线与等时曲线 17世纪末，欧洲数学家开始研究自然现象中的极值问题。其中一个著名问题是“最速降线问题”：在重力作用下，一个质点从A点滑到B点，哪条路径耗时最短？伽利略曾错误地认为答案是圆弧，但1696年约翰·伯努利通过公开挑战重新提出该问题。牛顿、莱布尼茨等人分别给出正确答案——摆线（旋轮线）。这一问题的特殊性在于，目标不是求函数的极值，而是求一条使得某个积分值（时间）取极值的“曲线”。这类问题被称为“变分问题”，因为需要比较不同曲线对应的积分值。 第二步：欧拉-拉格朗日方程的形成 18世纪，欧拉系统研究了变分问题的一般解法。他通过将曲线微小扰动（即“变分”），推导出极值曲线必须满足的一个微分方程。1744年，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中给出初步方法。后来，拉格朗日于1755年提出更简洁的推导：假设曲线\( y(x) \)使积分\( J[ y] = \int_ {a}^{b} F(x, y, y') \, dx \)取极值，引入一个小扰动\( \delta y(x) \)（满足边界条件\( \delta y(a) = \delta y(b) = 0 \)），通过一阶变分为零（\( \delta J = 0 \)）得到： \[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0, \] 这就是欧拉-拉格朗日方程。它成为变分法的核心工具，将无限维的曲线比较问题转化为微分方程求解。 第三步：物理应用的推动——最小作用量原理 18-19世纪，变分法与物理学深度结合。莫佩尔蒂提出“最小作用量原理”，认为物理系统的真实运动是使作用量取极值的路径。哈密顿进一步将这一原理数学化，提出哈密顿原理：力学系统的运动由作用量\( S = \int L \, dt \)的极值决定（其中\( L \)为拉格朗日量）。通过欧拉-拉格朗日方程，可推导出牛顿第二定律或更一般的运动方程。这一框架不仅统一了力学，还为后续量子力学和场论奠定了基础。 第四步：数学严格化与泛函分析的出现 19世纪末，数学家开始审视变分法的严密性。例如，魏尔斯特拉斯指出极值曲线需满足“二阶条件”（如雅可比条件），并研究了强极值与弱极值的区别。20世纪初，希尔伯特提出“直接方法”，通过函数空间的紧性证明极值存在性，避免了先推导微分方程。这引导了泛函分析的诞生：将曲线视为函数空间中的点，变分问题转化为泛函的极值问题。由此发展出的索伯列夫空间等工具，为偏微分方程和现代变分理论提供了严格基础。 第五步：现代发展——从几何到最优控制 20世纪后，变分法扩展到更广泛的领域： 几何应用 ：普拉托问题（最小曲面）通过变分法研究，催生了几何测度论； 最优控制理论 ：庞特里亚金提出极大值原理，将变分法推广到带约束的系统； 非线性分析 ：通过临界点理论（如山路引理）研究泛函的极值，应用于非线性偏微分方程。 变分法至今仍是连接数学、物理与工程的核心工具，其思想从“曲线比较”深化为对无限维空间结构的探索。