二次型的正交基 我们先从线性代数中熟悉的 二次型 概念开始。一个二次型是形如 \[ Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {i,j} a_ {ij} x_ i x_ j \quad (a_ {ij} = a_ {ji}) \] 的齐次二次多项式。通过对称矩阵 \( A = (a_ {ij}) \)，二次型可写成向量形式 \[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}. \] 第一步：对称矩阵与对角化 对于实对称矩阵 \( A \)，谱定理告诉我们：存在正交矩阵 \( P \)（即 \( P^T = P^{-1} \)）使得 \[ P^T A P = D, \] 其中 \( D \) 是对角矩阵，对角线元素是 \( A \) 的特征值。令 \( \mathbf{x} = P \mathbf{y} \)，则 \[ Q(\mathbf{x}) = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}. \] 于是二次型在新变量 \( \mathbf{y} \) 下变为 \[ Q = \lambda_ 1 y_ 1^2 + \lambda_ 2 y_ 2^2 + \cdots + \lambda_ n y_ n^2. \] 这里 \( P \) 的列向量是 \( A \) 的单位正交特征向量，它们构成了 \(\mathbb{R}^n\) 的一组 标准正交基 。 第二步：正交基与二次型的简化 在上述对角化过程中，我们实际上找到了一组基（即正交矩阵 \( P \) 的列向量），使得二次型在这组基下的表达式没有交叉项 \( y_ i y_ j \ (i \ne j) \)。这样的基称为二次型的 正交基 。 更一般地，对于任意域（如复数域）上的二次型，若存在一组基使得二次型对角化，则称该基为 正交基 （注意：在实数域中我们通常要求基是标准正交的，但在一般域中“正交”仅指二次型在该基下对角化）。 第三步：Gram–Schmidt正交化方法 当对称矩阵 \( A \) 不是单位矩阵时，如何实际构造这样的正交基？一种通用方法是 配方法 （合同对角化），但若在实数域上且考虑内积结构，可用Gram–Schmidt过程： 定义与 \( A \) 相关的内积 \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle_ A = \mathbf{u}^T A \mathbf{v}\)（当 \( A \) 正定时这是内积）。 从任意基出发，通过Gram–Schmidt正交化得到一组 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_ A\)-正交基。 这组基关于内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle_ A\) 正交，即 \(\langle \mathbf{e}_ i, \mathbf{e}_ j \rangle_ A = 0 \ (i \ne j)\)，从而二次型在该基下对角化。 第四步：几何意义 在几何中，二次型 \( Q(\mathbf{x}) = 1 \)（或其它常数）表示一个二次曲面（如椭圆、双曲线等）。正交基的方向对应于该曲面的主轴方向。例如，在二维情形，椭圆的长轴和短轴方向就是二次型正交基的方向。 第五步：推广到其它域 在特征非 2 的域上，对称双线性形 \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} \) 与二次型一一对应。正交基的定义是：基向量两两正交，即 \( B(\mathbf{e}_ i, \mathbf{e}_ j) = 0 \ (i \ne j) \)。通过基变换，总可找到正交基（这等价于对称矩阵合同于对角矩阵）。 第六步：与正交群的关系 所有从标准正交基到二次型 \( Q \) 的正交基的变换构成一个群，即 正交群 \( O(Q) \)，它由保持二次型不变的线性变换组成： \[ O(Q) = \{ P \in GL(n) \mid P^T A P = A \}. \] 正交基的选取正是在 \( O(Q) \) 作用下对标准基进行变换。