环的根理想 我们先从最简单的概念开始。 1. 理想与幂零元 在环 \( R \) 中，一个元素 \( a \in R \) 称为 幂零元 ，如果存在正整数 \( n \) 使得 \( a^n = 0 \)。 环的一个 理想 \( I \subset R \) 是 \( R \) 的一个加法子群，且对任意 \( r \in R, x \in I \) 有 \( r x \in I \)。 2. 幂零理想 理想 \( I \) 称为 幂零理想 ，如果存在正整数 \( n \) 使得 \( I^n = 0 \)（即任意 \( n \) 个元素的乘积为 0）。 更一般地，如果理想 \( I \) 中每个元素都是幂零元，则称 \( I \) 为 幂零元理想 （nil ideal）。 （注意：幂零理想一定是幂零元理想，但反之不一定成立，除非是诺特环。） 3. 根理想（Nilradical） 环 \( R \) 的所有幂零元组成的集合是一个理想，称为 \( R \) 的 幂零根 （nilradical），记作 \( \operatorname{nil}(R) \)。 可以证明： \[ \operatorname{nil}(R) = \bigcap_ {\mathfrak{p} \text{ 是素理想}} \mathfrak{p}. \] 也就是说，幂零元恰好是属于每个素理想的元素。 4. Jacobson 根 比幂零根更广的概念是 Jacobson 根 （Jacobson radical）\( J(R) \)： \[ J(R) = \{ x \in R \mid 1 - r x \text{ 是单位，对所有 } r \in R \}. \] 等价地，它是所有极大左理想的交（在交换环中，极大左理想就是极大理想）。 显然 \( \operatorname{nil}(R) \subset J(R) \)，因为幂零元属于每个极大理想。 5. 根理想的一般定义 给定理想 \( I \subset R \)，它的 根 （radical）定义为： \[ \sqrt{I} = \{ x \in R \mid \exists n \ge 1, x^n \in I \}. \] 这是一个包含 \( I \) 的理想，且 \( \sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I} \)。 幂零根就是 \( \sqrt{(0)} \)。 6. 根理想与代数簇 在代数几何中，若 \( R = k[ x_ 1,\dots,x_ n ] \)，\( I \) 是一个理想，则 \( \sqrt{I} \) 对应的代数簇与 \( I \) 对应的代数簇相同（Hilbert 零点定理）。 即 \( V(I) = V(\sqrt{I}) \)，这说明根理想决定簇的集合，但理想本身可能包含幂零函数（在簇上为零但幂次才为零的函数）。 7. 根理想与局部环 在交换代数中，一个环称为 约化环 （reduced），如果它的幂零根为零。 局部环的 Jacobson 根在模论和完备化中很重要，例如 Nakayama 引理用到 \( M = J(R)M \Rightarrow M=0 \)。 8. 应用：素谱（Prime Spectrum） 在环的素谱 \( \operatorname{Spec} R \) 上，根理想对应闭集的“不可约”分解中的素理想成分。 若 \( I = \bigcap \mathfrak{p}_ i \) 是准素分解，则 \( \sqrt{I} = \bigcap \mathfrak{p}_ i \)（取关联的素理想）。