模的投射分解 我们先从模的基本概念开始。一个模（module）是环上的向量空间的推广。具体来说，如果 R 是一个环，一个左 R-模 M 是一个交换群，带有一个标量乘法 R × M → M，满足分配律和结合律等公理。这个概念将向量空间的定义从域推广到了环。 接下来，我们需要理解模同态和正合序列。模同态是保持模结构的映射。一个序列 of 模和模同态，例如 ... → A → B → C → ...，如果在任意一个模处的像等于下一个同态的核，则称为在 B 处正合。如果一个序列在每处都正合，则称为正合序列。特别地，0 → A → B → C → 0 形式的正合序列称为短正合序列，它表示 A 是 B 的子模，而 C 是同构于 B/A 的商模。 现在，我们引入投射模的概念。一个 R-模 P 称为投射模，如果对于任意满同态 f: M → N 和任意同态 g: P → N，都存在一个同态 h: P → M，使得 f∘h = g。直观地说，从 P 出发的同态可以“提升”通过满同态。一个重要且等价的刻画是：模 P 是投射模当且仅当它是某个自由模的直和项。自由模总是投射模。 为什么需要投射模呢？因为它们具有良好的“同态延拓”性质。在模论中，我们经常希望研究函子，比如 Hom_ R(P, -)。如果 P 是投射模，那么函子 Hom_ R(P, -) 是正合的，也就是说，它将短正合序列变为短正合序列。这是一个非常有力的性质。 基于投射模，我们可以定义模的投射分解。设 M 是一个 R-模。M 的一个投射分解是一个正合序列： ... → P₂ → P₁ → P₀ → M → 0 其中每个 P_ i 都是投射模。这个序列可以无限长，也可以是有限的（如果从某个点之后 P_ i 都为零）。这个分解本质上是用一系列“性质良好”的投射模来逼近 M，从而研究 M 的性质。序列 ... → P₂ → P₁ → P₀ 部分称为 M 的投射预解式。 投射分解的存在性是一个基本问题。如果环 R 是诺特环，并且 M 是有限生成的 R-模，那么 M 存在一个投射分解，其中每个 P_ i 也是有限生成的。更一般地，一个重要的定理是：任何模都有投射分解。这可以通过取 P₀ 为 M 的某个生成元集生成的自由模（因而是投射模），然后取 P₁ 为 P₀ 的核的生成元集生成的自由模，如此递归进行而得到。 投射分解在同调代数中扮演着核心角色。它的主要应用之一是定义导出函子。例如，对于另一个模 N，考虑函子 Hom_ R(-, N)。这个函子是左正合的，但不是正合的。为了“测量”它的不正合性，我们利用投射分解。将函子 Hom_ R(-, N) 作用于 M 的投射预解式 ... → P₁ → P₀ → 0（去掉 M），得到一个链复形： 0 → Hom_ R(P₀, N) → Hom_ R(P₁, N) → Hom_ R(P₂, N) → ... 这个链复形的上同调群 Ext^n_ R(M, N) 就是导出的函子。特别地，Ext^1_ R(M, N) 分类了模 M 被模 N 扩张的所有方式。 类似地，对于张量积函子 - ⊗_ R N（它是右正合函子），我们可以利用投射分解来定义 Tor 函子 Tor^R_ n(M, N)，它衡量了张量积的不正合性。投射分解的长度（即非零 P_ i 的最大下标）与模的投射维数相关，这是一个重要的同调不变量，反映了模离投射模有多“远”。 总结来说，模的投射分解是一种强大的工具，它通过一列投射模来近似表示一个模，从而使得我们可以将同调代数的方法应用于模的研究，特别是用于定义和研究像 Ext 和 Tor 这样的导出函子，这些函子深刻地反映了模和环的结构性质。