模形式的自守L函数的p进L函数 我们先从模形式的自守L函数的基本概念开始。一个权为k、级为N的模形式f，其傅里叶展开为f(z) = ∑a(n)q^n (q=e^(2πiz))。其对应的L函数定义为L(f, s) = ∑a(n)n^{-s}，这个狄利克雷级数在Re(s) > k/2 + 1时绝对收敛。 接下来是p进L函数的核心动机。我们希望研究L(f, s)在整点s = 1, 2, ..., k-1处的特殊值（这些点称为临界点）。经典理论（如Klingen-Siegel定理）告诉我们，这些特殊值是一些代数数。p进L函数的目的，就是构造一个p进解析函数L_ p(f, s)，使得在所有这些临界点s上，有插值性质：L_ p(f, j) / (某个明确的周期和常数) = L(f, j) / (某个经典的周期)。 为了构造p进L函数，我们需要一个关键概念：模形式的p进族。一个p进模形式族是一族模形式{f_ k}，其中权k在p进意义下变化（例如，k可以趋于某个p进数）。这个族需要满足一定的p进连续性条件。通过研究这样的族，我们可以将不同权的模形式的L函数“粘合”起来，形成一个关于权k和复变量s的二元p进解析函数。 具体构造p进L函数通常有两种主要方法。第一种方法是利用模形式的测度理论。我们可以在模曲线的p-adic空间上构造一个p进分布（或测度）μ_ f。这个测度包含了模形式f的所有算术信息。然后，p进L函数L_ p(f, s) 就定义为这个测度μ_ f对某个特征函数x^{s-1}的p进积分：L_ p(f, s) = ∫ x^{s-1} dμ_ f(x)。 第二种方法是通过对艾森斯坦级数进行p进插值。我们可以先构造出艾森斯坦级数的p进族，其傅里叶系数的p进插值性质是明确的。然后，通过将我们的模形式f投影到这个p进艾森斯坦级数空间上（利用Hida理论或类似工具），我们可以间接地定义f的p进L函数。 p进L函数最深刻的应用之一是与主猜想相关。主猜想将p进L函数在某个特定点（例如s = k/2，对应L函数的中心点）的p进导数，与模形式对应的伽罗瓦表示所定义的塞尔默群的大小联系起来。这为研究BSD猜想或岩泽主猜想提供了强大的p进工具。 最后，p进L函数的非零性也是一个核心课题。一个基本的猜想是，除了由于某些明显原因（如符号条件）导致的必然零点外，p进L函数不应有额外的零点。这个非零性猜想与模形式f对应的伽罗瓦表示的p进性质密切相关，并且是许多前沿研究的焦点。