二次型的对角化 首先，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式。例如，一个二元二次型的一般形式为 \( Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \)。我们的目标是找到一个变量的线性变换，使得在新的变量下，这个二次型只包含平方项，而不包含交叉项（如xy项）。这个过程就称为二次型的对角化。 第一步，我们考虑如何表示二次型。一个常用的方法是将二次型与一个对称矩阵关联起来。对于上面的二元二次型，它可以写成矩阵形式： \[ Q(x, y) = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \] 更一般地，一个n元二次型可以表示为 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \)，其中A是一个对称矩阵。对角化的目标就是找到一个可逆矩阵P，使得 \( P^T A P \) 是一个对角矩阵。 第二步，实现对角化的一个经典方法是配方法。我们通过具体的例子来说明。考虑二次型 \( Q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2 \)。我们首先对含有x的项进行配方： \[ Q(x, y) = (x^2 + 4xy) + 3y^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2 + 3y^2 = (x + 2y)^2 - y^2 \] 现在，我们引入新的变量 \( u = x + 2y \) 和 \( v = y \)。那么二次型就对角化为 \( Q(u, v) = u^2 - v^2 \)。配方法对于任何二次型都适用，它是一个逐步消除交叉项的过程。 第三步，从线性代数的角度来看，对角化问题等价于为对称矩阵A寻找一个由特征向量组成的正交基。对称矩阵的一个关键性质是它总可以通过正交变换对角化。也就是说，存在一个正交矩阵Q（满足 \( Q^T = Q^{-1} \)），使得 \( Q^T A Q \) 是对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。这个方法被称为主轴定理，它保证了任何实二次型都可以通过一个旋转（正交变换）化为标准形。 第四步，我们讨论对角化后的形式，即二次型的标准形。在对角化之后，二次型变为 \( d_ 1 u_ 1^2 + d_ 2 u_ 2^2 + \cdots + d_ n u_ n^2 \)。在实数域上，我们可以进一步通过缩放变量，将系数化为1或-1（或0），这被称为惯性定理。惯性定理指出，一个实二次型经过可逆线性变换后，正平方项的个数和负平方项的个数是固定不变的，这两个数被称为二次型的正惯性指数和负惯性指数。 最后，二次型的对角化在数学和物理中有广泛的应用。例如，在物理学中，它用于分析多变量系统的稳定性和振动模式。在数学中，它是研究曲线和曲面分类的基础工具。通过将二次型化为对角形，我们可以更容易地分析其性质，如正定性（所有平方项系数为正）等。