圆的渐开线与渐伸线的微分几何关系（续四十七）
本讲将深入探讨渐开线与渐伸线在曲率关系上的一个关键微分几何性质：渐开线的曲率中心轨迹恰好是其母曲线的渐屈线。我们将通过严谨的推导来证明这一结论。
- 预备知识回顾
- 渐屈线定义：一条曲线 \(C\) 的渐屈线，是 \(C\) 上所有点的曲率中心的轨迹。
- 曲率中心：对于曲线上一点 \(P\)，其曲率中心位于该点的法线上，与曲率半径 \(\rho\) 的长度相对应。曲率半径 \(\rho\) 是曲率 \(\kappa\) 的倒数，即 \(\rho = 1/\kappa\)。
- 渐开线生成：曲线 \(C\) 的渐开线，是由一条紧绷的弦从 \(C\) 上“展开”时，其端点所描绘出的轨迹。
- 设定与参数化
- 设母曲线为 \(\Gamma\)，其弧长参数为 \(s\)。则 \(\Gamma\) 的参数方程为 \(\vec{r}(s)\)。
- 根据之前的推导，\(\Gamma\) 的渐开线 \(I\) 的参数方程（以展开的弦长 \(s_0\) 为参数）为：
\[ \vec{i}(s_0) = \vec{r}(s_0) + (L - s_0) \vec{T}(s_0) \]
其中，\(L\) 是总弦长（一个常数），\(\vec{T}(s_0)\) 是 \(\Gamma\) 在点 \(\vec{r}(s_0)\) 处的单位切向量。
- 计算渐开线 \(I\) 的曲率中心
我们的目标是找到渐开线 \(I\) 在参数为 \(s_0\) 时所对应点 \(\vec{i}(s_0)\) 的曲率中心。曲率中心位于该点的法线上。
a. 求渐开线 \(I\) 的切向量：
对 \(\vec{i}(s_0)\) 关于参数 \(s_0\) 求导：
\[ \frac{d\vec{i}}{ds_0} = \frac{d\vec{r}}{ds_0} + \frac{d(L - s_0)}{ds_0} \vec{T} + (L - s_0) \frac{d\vec{T}}{ds_0} \]
已知 \(\frac{d\vec{r}}{ds_0} = \vec{T}(s_0)\) 且 \(\frac{d(L - s_0)}{ds_0} = -1\)。同时，根据弗雷内-塞雷公式，\(\frac{d\vec{T}}{ds_0} = \kappa(s_0) \vec{N}(s_0)\)，其中 \(\kappa(s_0)\) 是母曲线 \(\Gamma\) 在 \(s_0\) 处的曲率，\(\vec{N}(s_0)\) 是 \(\Gamma\) 在 \(s_0\) 处的主法向量。
\[ \frac{d\vec{i}}{ds_0} = \vec{T} - \vec{T} + (L - s_0) \kappa(s_0) \vec{N}(s_0) = (L - s_0) \kappa(s_0) \vec{N}(s_0) \]
因此，渐开线 \(I\) 的切向量 \(\vec{T}_I\) 平行于 \(\vec{N}(s_0)\)。由于 \(\vec{N}(s_0)\) 是 \(\Gamma\) 的法向量，这意味着 \(\vec{T}(s_0)\)（即 \(\Gamma\) 的切向量）是渐开线 \(I\) 的法向量。这个关系至关重要。
b. 确定渐开线 \(I\) 的法线方向：
由上可知，\(\vec{T}_I \parallel \vec{N}(s_0)\)，所以渐开线 \(I\) 的单位法向量 \(\vec{N}_I\) 平行于 \(\pm \vec{T}(s_0)\)。我们取 \(\vec{N}_I = -\vec{T}(s_0)\)（符号的选择需保证曲率中心在法线的正侧，这里不影响轨迹的几何位置）。
c. 计算渐开线 \(I\) 的曲率 \(\kappa_I\) 和曲率半径 \(\rho_I\)：
曲率 \(\kappa\) 可以通过计算切向量的导数相对于弧长的模长来得到。首先求渐开线 \(I\) 的弧长微分 \(ds_I\)：
\[ ds_I = \left\| \frac{d\vec{i}}{ds_0} \right\| ds_0 = |(L - s_0) \kappa(s_0)| ds_0 \]
通常我们假设 \((L - s_0) > 0\) 且 \(\kappa(s_0) > 0\)，所以 \(ds_I = (L - s_0) \kappa(s_0) ds_0\)。
接下来，求渐开线 \(I\) 的切向量对自身弧长 \(s_I\) 的导数（即曲率向量）：
\[ \frac{d\vec{T}_I}{ds_I} = \frac{d(\vec{N}(s_0))}{ds_I} = \frac{d\vec{N}(s_0)/ds_0}{ds_I/ds_0} = \frac{ -\kappa(s_0) \vec{T}(s_0) + \tau(s_0) \vec{B}(s_0) }{(L - s_0) \kappa(s_0)} \]
根据弗雷内-塞雷公式，\(\frac{d\vec{N}}{ds_0} = -\kappa \vec{T} + \tau \vec{B}\)。由于我们目前考虑平面曲线（圆的渐开线是平面曲线，此关系可推广到一般平面曲线），挠率 \(\tau = 0\)。
\[ \frac{d\vec{T}_I}{ds_I} = \frac{ -\kappa(s_0) \vec{T}(s_0) }{(L - s_0) \kappa(s_0)} = -\frac{1}{L - s_0} \vec{T}(s_0) \]
曲率 \(\kappa_I\) 是这个导数向量的模长：
\[ \kappa_I = \left\| \frac{d\vec{T}_I}{ds_I} \right\| = \frac{1}{|L - s_0|} \]
同样，在假设下，\(\kappa_I = \frac{1}{L - s_0}\)。因此，曲率半径 \(\rho_I = \frac{1}{\kappa_I} = L - s_0\)。
- 定位渐开线 \(I\) 的曲率中心
- 曲率中心 \(\vec{C}_I\) 位于渐开线 \(I\) 的法线上，距离点 \(\vec{i}(s_0)\) 为曲率半径 \(\rho_I\) 的长度。
- 渐开线 \(I\) 在点 \(\vec{i}(s_0)\) 处的单位法向量我们取为 \(\vec{N}_I = -\vec{T}(s_0)\)。
- 因此，曲率中心的位置向量为：
\[ \vec{C}_I(s_0) = \vec{i}(s_0) + \rho_I \vec{N}_I = [\vec{r}(s_0) + (L - s_0) \vec{T}(s_0)] + (L - s_0) (-\vec{T}(s_0)) \]
\[ \vec{C}_I(s_0) = \vec{r}(s_0) + (L - s_0) \vec{T}(s_0) - (L - s_0) \vec{T}(s_0) = \vec{r}(s_0) \]
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结论
计算结果表明，渐开线 \(I\) 在参数 \(s_0\) 所对应点处的曲率中心，恰好就是其母曲线 \(\Gamma\) 上对应的接触点 \(\vec{r}(s_0)\)。
而根据渐屈线的定义，母曲线 \(\Gamma\) 的渐屈线，正是其所有曲率中心的轨迹。因此，渐开线 \(I\) 的曲率中心的轨迹，就是其母曲线 \(\Gamma\) 本身。换句话说，母曲线 \(\Gamma\) 是其所有渐开线的渐屈线。这是一个非常优美且深刻的微分几何关系，它将渐开线、渐屈线和曲率中心紧密地联系在了一起。