复变函数的广义积分与主值积分 广义积分是实变函数中瑕积分概念在复平面上的推广。当被积函数在积分路径上存在奇点时，需要特殊处理。设f(z)在简单曲线γ上除有限个点外连续，若存在某种方式使积分收敛，则称广义积分存在。具体分为两种情况：当奇点为端点时，通过极限定义；当奇点在路径内部时，通过挖去奇点邻域后取极限。 主值积分是处理奇点位于积分路径上的特殊方法。对于实轴上奇点c∈(a,b)的情况，柯西主值定义为： $$PV\int_ a^b f(x)dx = \lim_ {\epsilon\to0^+}\left[ \int_ a^{c-\epsilon}f(x)dx + \int_ {c+\epsilon}^b f(x)dx\right ]$$ 在复平面上，主值积分可沿绕过奇点的小半圆路径计算，其结果与半圆半径无关。 主值积分与留数定理有深刻联系。当积分路径绕过极点时，根据小圆弧引理，半圆弧贡献为±πi乘以留数（符号取决于绕行方向）。这为计算实积分提供了有力工具，特别是在处理奇点位于实轴的情形时。