平行投影 平行投影是一种几何变换，它将空间中的点沿着一个固定的方向（投影方向）投射到一个平面（投影平面）上。 基本定义 设空间中有一个平面 \( \pi \)（投影平面）和一个非零向量 \( \vec{d} \)（投影方向向量，不与平面 \( \pi \) 平行）。对于空间中任意一点 \( P \)，过点 \( P \) 作一条平行于 \( \vec{d} \) 的直线 \( l \)。这条直线 \( l \) 与投影平面 \( \pi \) 的交点 \( P' \) 称为点 \( P \) 在平面 \( \pi \) 上的平行投影。 分类 平行投影可以根据投影方向与投影平面的夹角关系进行分类： 正投影 ：投影方向 \( \vec{d} \) 与投影平面 \( \pi \) 垂直。在这种投影下，投影线（即过点平行于 \( \vec{d} \) 的直线）都垂直于投影平面。工程制图中的三视图（主视图、俯视图、侧视图）就是正投影的典型例子，它能准确反映物体的一个方向的真实形状和尺寸。 斜投影 ：投影方向 \( \vec{d} \) 与投影平面 \( \pi \) 不垂直。斜投影能同时表现物体多个面的形状，但会产生变形，不能直接反映物体的真实尺寸。根据变形方式的不同，斜投影又可细分为斜等轴测投影和斜二测投影等。 基本性质 平行投影具有以下重要几何性质： 保线性 ：空间中的一条直线，其平行投影仍然是一条直线（除非该直线平行于投影方向，此时投影为一个点）。 保平行性 ：空间中的两条平行直线，它们的平行投影仍然是两条平行直线（或重合为一条直线，或其中一个投影为点）。这是平行投影区别于中心投影的一个关键特性。 保比例性 ：一条直线段上的点，其分割线段的比例在投影后保持不变。即，若点 \( C \) 在线段 \( AB \) 上，且 \( AC:CB = m:n \)，则其投影点 \( C' \) 在线段 \( A'B' \) 的投影上，同样满足 \( A'C':C'B' = m:n \)。由此可以推导出，平行线段的长度比在投影后也保持不变。 不保角度和长度 ：一般情况下，平行投影不保持线段的实际长度和两条直线间的角度。只有在特定条件下（如线段平行于投影平面时，其投影长度才等于实际长度）。 与仿射变换的关系 平行投影是一种特殊的仿射变换。实际上，空间中的任何仿射变换都可以分解为一系列平行投影的复合。因此，平行投影继承了仿射变换的所有性质，如上述的保线性、保平行性和保比例性。研究平行投影是理解更一般的仿射几何的基础。 应用 平行投影在众多领域有广泛应用： 工程制图 ：用于创建物体的多视图图纸，是机械设计、建筑设计的基础。 计算机图形学 ：用于将三维场景显示到二维屏幕上。平行投影因其计算简单且能保持平行关系，常用于建筑草图、工程图纸的生成以及一些特定的视觉效果。 阴影绘图 ：在建筑和艺术中，利用平行投影原理绘制物体在平行光下的阴影。 地图学 ：某些地图投影（如圆柱投影、方位投影的正轴情形）可以看作是地球曲面与地图平面之间的某种平行投影。