可测函数序列的依测度收敛与几乎处处收敛的关系 基本概念回顾 几乎处处收敛 ：设 \(\{f_ n\}\) 是可测函数序列，\(f\) 是可测函数。若存在零测集 \(E\)（即 \(\mu(E)=0\)），使得对所有 \(x \notin E\)，有 \(\lim_ {n\to\infty} f_ n(x) = f(x)\)，则称 \(f_ n\) 几乎处处收敛于 \(f\)，记作 \(f_ n \to f\) a.e. 依测度收敛 ：若对任意 \(\varepsilon > 0\)，有 \(\lim_ {n\to\infty} \mu(\{x : |f_ n(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}) = 0\)，则称 \(f_ n\) 依测度收敛于 \(f\)，记作 \(f_ n \xrightarrow{\mu} f\)。 两种收敛的独立性 几乎处处收敛不蕴含依测度收敛：例如，在实数轴 \(\mathbb{R}\) 上取勒贝格测度，定义 \(f_ n(x) = \chi_ {[ n, n+1]}(x)\)（特征函数）。当 \(n \to \infty\) 时，对每个 \(x\)，\(f_ n(x) \to 0\)，但对 \(\varepsilon = 0.5\)，有 \(\mu(\{x: |f_ n(x)| \geq 0.5\}) = 1\)，不趋于 0。 依测度收敛不蕴含几乎处处收敛：例如，在 \([ 0,1]\) 上取勒贝格测度，通过二分区间构造“滑动方块”序列（如第 \(n\) 个函数在长度为 \(1/n\) 的区间上取 1，其余为 0，且区间覆盖 \([ 0,1]\) 无穷多次）。该序列依测度收敛于 0，但对每个 \(x \in [ 0,1]\)，\(f_ n(x)\) 有无穷多次取 1，不几乎处处收敛。 部分蕴含关系 定理1（几乎处处收敛 + 有限测度空间） ：若 \(\mu(X) < \infty\) 且 \(f_ n \to f\) a.e.，则 \(f_ n \xrightarrow{\mu} f\)。证明基于叶戈罗夫定理：在有限测度空间上，几乎处处收敛可推出几乎一致收敛，而几乎一致收敛强于依测度收敛。 定理2（依测度收敛的子序列原理） ：若 \(f_ n \xrightarrow{\mu} f\)，则存在子列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 使得 \(f_ {n_ k} \to f\) a.e.。证明通过选取 \(n_ k\) 使得 \(\mu(|f_ {n_ k} - f| \geq 1/k) < 2^{-k}\)，再应用博雷尔-坎泰利引理证明该子列几乎处处收敛。 统一框架：收敛的刻画 在任意测度空间上，\(f_ n \to f\) a.e. 当且仅当对任意 \(\varepsilon > 0\)，有 \(\mu\left( \bigcap_ {m=1}^\infty \bigcup_ {n=m}^\infty \{|f_ n - f| \geq \varepsilon\} \right) = 0\)。 依测度收敛等价于对任意子列 \(\{f_ {n_ k}\}\)，存在进一步子列 \(\{f_ {n_ {k_ j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。这体现了依测度收敛是几乎处处收敛的“弱拓扑”形式。 应用与反例补充 在概率论中，依测度收敛称为“依概率收敛”，其子列性质常用于证明大数定律。 反例说明无限测度空间中两种收敛的独立性：在 \(\mathbb{R}\) 上，\(f_ n = \chi_ {[ n,n+1]}\) 几乎处处收敛但不依测度收敛；\(g_ n = \chi_ {[ 0,1/n]}\) 依测度收敛但不几乎处处收敛（因对 \(x=0\)，\(g_ n(0)=1\) 不收敛于 0）。