随机变量的变换的随机逼近方法
字数 2584 2025-11-09 18:29:08

随机变量的变换的随机逼近方法

随机逼近方法是一种用于寻找函数根或极值的随机迭代算法，特别适用于无法直接观测函数值，只能获得带有噪声的函数观测值的情况。

1. 核心思想与问题背景

假设我们想找到一个未知函数 \(g(\theta)\) 的根，即求解 \(g(\theta) = 0\) 的 \(\theta^*\)。但我们无法直接计算 \(g(\theta)\)，每次在点 \(\theta_n\) 进行实验，我们只能得到一个带有噪声的观测值 \(Y_n\)：

\[ Y_n = g(\theta_n) + \epsilon_n \]

其中 \(\epsilon_n\) 是均值为零的随机噪声。随机逼近的目标是设计一个迭代序列 \(\{\theta_n\}\)，使得 \(\theta_n\) 能够收敛到真实的根 \(\theta^*\)。

2. 基本算法：Robbins-Monro 算法

这是随机逼近最经典的算法，用于寻找函数的根。

  • 迭代公式：

\[ \theta_{n+1} = \theta_n - a_n Y_n \]

其中：

  • \(\theta_n\) 是第 \(n\) 步对根 \(\theta^*\) 的估计。

  • \(Y_n\) 是在 \(\theta_n\) 处观测到的带有噪声的函数值。

  • \(a_n\) 是一个正的步长序列。

  • 直观理解：
    在确定性情况下（没有噪声），如果我们想求 \(g(\theta) = 0\)，可以用牛顿法等。随机逼近可以看作牛顿法的随机类比。当观测值 \(Y_n\) 为正时，意味着在当前点 \(\theta_n\)，函数 \(g\) 可能为正，因此我们需要减小 \(\theta\) 的值以接近根，所以迭代公式中是减去 \(a_n Y_n\)。反之，当 \(Y_n\) 为负时，减去一个负值相当于增加 \(\theta\)。步长 \(a_n\) 控制着每次调整的幅度。

3. 算法的收敛性条件

为了保证序列 \(\{\theta_n\}\) 能收敛到真值 \(\theta^*\)，算法参数需要满足严格的条件。

  • 对步长序列 \(\{a_n\}\) 的要求：
  1. \(a_n > 0\) （步长为正）
  2. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \infty\) （步长之和发散，保证算法有足够的“能量”到达最优点，避免过早停止）
  3. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 < \infty\) （步长平方和收敛，保证噪声的累积方差有限，从而使算法最终稳定下来）
    一个常见的满足条件的步长序列是 \(a_n = c/n\)，其中 \(c > 0\)。

  • 对函数 \(g(\theta)\) 的要求：
    \(g(\theta)\) 需要满足一些正则条件，例如在根 \(\theta^*\) 附近是连续且单调递增的（即 \(g'(\theta^*) > 0\)），这保证了 \(\theta^*\) 是一个吸引点。

  • 对噪声 \(\{\epsilon_n\}\) 的要求：
    噪声序列通常需要是鞅差序列（即 \(E[\epsilon_n | \mathcal{F}_{n-1}] = 0\)，其中 \(\mathcal{F}_{n-1}\) 是前 n-1 步的信息），并且具有有条件的同方差性。这保证了噪声在长期平均下会相互抵消，不会将估计值系统地推离真值。

4. 推广：Kiefer-Wolfowitz 算法

Robbins-Monro 算法解决的是求根问题。如果我们想求解一个函数的极小值（或极大值），即 \(\min_\theta M(\theta)\)，问题就变成了寻找梯度函数 \(g(\theta) = M'(\theta)\) 的根。Kiefer-Wolfowitz 算法就是为此设计的。

  • 核心思想：由于无法直接计算梯度 \(M'(\theta)\)，我们使用有限差分来近似梯度。
  • 迭代公式：

\[ \theta_{n+1} = \theta_n - a_n \left( \frac{Y_n^+ - Y_n^-}{2c_n} \right) \]

其中：
  • \(Y_n^+\) 是在 \(\theta_n + c_n\) 处观测到的带有噪声的函数值 \(M(\theta_n + c_n) + \epsilon_n^+\)。
  • \(Y_n^-\) 是在 \(\theta_n - c_n\) 处观测到的带有噪声的函数值 \(M(\theta_n - c_n) + \epsilon_n^-\)。
  • \(\frac{Y_n^+ - Y_n^-}{2c_n}\) 是梯度 \(M'(\theta_n)\) 的对称差分估计量。
  • \(a_n\) 是步长序列，需满足与 Robbins-Monro 算法类似的条件。
  • \(c_n\) 是差分间隔序列，需要满足 \(c_n \to 0\)（以保证梯度估计的偏差趋于零）。

5. 应用场景

随机逼近方法在以下领域有广泛应用：

  • 随机优化：目标函数本身或其梯度带有噪声的优化问题。
  • 系统控制与自适应滤波：如用于调整滤波器参数的 LMS (Least Mean Squares) 算法，就是随机逼近的一个特例。
  • 机器学习：随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD) 可以看作是随机逼近思想的一种体现，它使用数据子集（小批量）的梯度来近似真实梯度，从而高效地优化大规模机器学习模型。
  • 信号处理：用于信道均衡、波束成形等。

总结

随机逼近方法的核心在于，它通过巧妙地设计迭代步长，使得在存在随机噪声的情况下，迭代序列能够几乎必然地收敛到目标值（函数的根或极值点）。它将确定性优化/求根算法与概率论中的收敛定理相结合，为解决不确定性环境下的序贯决策问题提供了强大的理论基础。

随机变量的变换的随机逼近方法 随机逼近方法是一种用于寻找函数根或极值的随机迭代算法，特别适用于无法直接观测函数值，只能获得带有噪声的函数观测值的情况。 1. 核心思想与问题背景 假设我们想找到一个未知函数 \( g(\theta) \) 的根，即求解 \( g(\theta) = 0 \) 的 \( \theta^* \)。但我们无法直接计算 \( g(\theta) \)，每次在点 \( \theta_ n \) 进行实验，我们只能得到一个带有噪声的观测值 \( Y_ n \)： \[ Y_ n = g(\theta_ n) + \epsilon_ n \] 其中 \( \epsilon_ n \) 是均值为零的随机噪声。随机逼近的目标是设计一个迭代序列 \( \{\theta_ n\} \)，使得 \( \theta_ n \) 能够收敛到真实的根 \( \theta^* \)。 2. 基本算法：Robbins-Monro 算法 这是随机逼近最经典的算法，用于寻找函数的根。 迭代公式 ： \[ \theta_ {n+1} = \theta_ n - a_ n Y_ n \] 其中： \( \theta_ n \) 是第 \( n \) 步对根 \( \theta^* \) 的估计。 \( Y_ n \) 是在 \( \theta_ n \) 处观测到的带有噪声的函数值。 \( a_ n \) 是一个正的步长序列。 直观理解 ： 在确定性情况下（没有噪声），如果我们想求 \( g(\theta) = 0 \)，可以用牛顿法等。随机逼近可以看作牛顿法的随机类比。当观测值 \( Y_ n \) 为正时，意味着在当前点 \( \theta_ n \)，函数 \( g \) 可能为正，因此我们需要减小 \( \theta \) 的值以接近根，所以迭代公式中是减去 \( a_ n Y_ n \)。反之，当 \( Y_ n \) 为负时，减去一个负值相当于增加 \( \theta \)。步长 \( a_ n \) 控制着每次调整的幅度。 3. 算法的收敛性条件 为了保证序列 \( \{\theta_ n\} \) 能收敛到真值 \( \theta^* \)，算法参数需要满足严格的条件。 对步长序列 \( \{a_ n\} \) 的要求 ： \( a_ n > 0 \) （步长为正） \( \sum_ {n=1}^{\infty} a_ n = \infty \) （步长之和发散，保证算法有足够的“能量”到达最优点，避免过早停止） \( \sum_ {n=1}^{\infty} a_ n^2 < \infty \) （步长平方和收敛，保证噪声的累积方差有限，从而使算法最终稳定下来） 一个常见的满足条件的步长序列是 \( a_ n = c/n \)，其中 \( c > 0 \)。 对函数 \( g(\theta) \) 的要求 ： \( g(\theta) \) 需要满足一些正则条件，例如在根 \( \theta^* \) 附近是连续且单调递增的（即 \( g'(\theta^ ) > 0 \)），这保证了 \( \theta^ \) 是一个吸引点。 对噪声 \( \{\epsilon_ n\} \) 的要求 ： 噪声序列通常需要是鞅差序列（即 \( E[ \epsilon_ n | \mathcal{F} {n-1}] = 0 \)，其中 \( \mathcal{F} {n-1} \) 是前 n-1 步的信息），并且具有有条件的同方差性。这保证了噪声在长期平均下会相互抵消，不会将估计值系统地推离真值。 4. 推广：Kiefer-Wolfowitz 算法 Robbins-Monro 算法解决的是求根问题。如果我们想求解一个函数的极小值（或极大值），即 \( \min_ \theta M(\theta) \)，问题就变成了寻找梯度函数 \( g(\theta) = M'(\theta) \) 的根。Kiefer-Wolfowitz 算法就是为此设计的。 核心思想 ：由于无法直接计算梯度 \( M'(\theta) \)，我们使用有限差分来近似梯度。 迭代公式 ： \[ \theta_ {n+1} = \theta_ n - a_ n \left( \frac{Y_ n^+ - Y_ n^-}{2c_ n} \right) \] 其中： \( Y_ n^+ \) 是在 \( \theta_ n + c_ n \) 处观测到的带有噪声的函数值 \( M(\theta_ n + c_ n) + \epsilon_ n^+ \)。 \( Y_ n^- \) 是在 \( \theta_ n - c_ n \) 处观测到的带有噪声的函数值 \( M(\theta_ n - c_ n) + \epsilon_ n^- \)。 \( \frac{Y_ n^+ - Y_ n^-}{2c_ n} \) 是梯度 \( M'(\theta_ n) \) 的对称差分估计量。 \( a_ n \) 是步长序列，需满足与 Robbins-Monro 算法类似的条件。 \( c_ n \) 是差分间隔序列，需要满足 \( c_ n \to 0 \)（以保证梯度估计的偏差趋于零）。 5. 应用场景 随机逼近方法在以下领域有广泛应用： 随机优化 ：目标函数本身或其梯度带有噪声的优化问题。 系统控制与自适应滤波 ：如用于调整滤波器参数的 LMS (Least Mean Squares) 算法，就是随机逼近的一个特例。 机器学习 ：随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD) 可以看作是随机逼近思想的一种体现，它使用数据子集（小批量）的梯度来近似真实梯度，从而高效地优化大规模机器学习模型。 信号处理 ：用于信道均衡、波束成形等。 总结 随机逼近方法的核心在于，它通过巧妙地设计迭代步长，使得在存在随机噪声的情况下，迭代序列能够几乎必然地收敛到目标值（函数的根或极值点）。它将确定性优化/求根算法与概率论中的收敛定理相结合，为解决不确定性环境下的序贯决策问题提供了强大的理论基础。