模的张量积
字数 1457 2025-11-09 17:30:41

模的张量积

我们先从模的基本概念开始。一个模可以看作是在一个环上的“向量空间”，不过环不一定是一个域。具体来说，如果R是一个环，一个左R-模M是一个交换群（其运算写作加法），并配备了一个标量乘法 R × M → M，满足分配律、结合律等公理。

现在，假设我们有两个R-模，M和N。我们想构造一个新的R-模，它能够以一种“最一般”的方式来反映M和N的双线性关系。这个新的模就是M和N的张量积，记作 M ⊗_R N。

构造张量积的第一步是考虑一个巨大的自由模。我们取由所有形如 (m, n) 的符号（其中m ∈ M, n ∈ N）生成的自由阿贝尔群（或者说自由Z-模）。我们记这个自由模为 F(M × N)。它的元素是形式有限的线性组合 ∑ a_i (m_i, n_i)，其中 a_i 是整数。

然而，这个自由模过于“自由”了，它没有捕捉到我们希望的双线性性质。双线性意味着，例如，对于任意的r ∈ R, m ∈ M, n ∈ N，我们应该有 (rm, n) = r(m, n) 以及 (m, rn) = r(m, n)，同时还要保持加法的分配律。

因此，第二步，我们取F(M × N)的一个子模K，由所有以下形式的元素生成：

  1. (m1 + m2, n) - (m1, n) - (m2, n)
  2. (m, n1 + n2) - (m, n1) - (m, n2)
  3. (rm, n) - r(m, n) （对于左R-模M）
  4. (m, rn) - r(m, n) （对于右R-模N，或者当R是交换环时，这定义了左模结构）

子模K的选取正是为了强制使得这些双线性关系成立。具体来说，我们要求这些生成元在商模中为零。

最后，第三步，我们定义模M和N（在环R上）的张量积为自由模F(M × N)关于子模K的商模：
M ⊗_R N = F(M × N) / K.

在商模 M ⊗_R N 中，元素 (m, n) 所在的等价类被记作 m ⊗ n，称为一个纯张量。张量积中的一般元素是有限多个纯张量的线性组合，即形如 ∑ (m_i ⊗ n_i) 的元素。重要的是，符号 ⊗ 满足我们强制规定的双线性关系：

  1. (m1 + m2) ⊗ n = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n
  2. m ⊗ (n1 + n2) = m ⊗ n1 + m ⊗ n2
  3. (rm) ⊗ n = m ⊗ (rn) = r*(m ⊗ n) （当R是交换环时）

张量积的核心性质是它的万有性质。它表明，对于任意一个R-模T，以及任意一个双线性映射 f: M × N → T，都存在唯一的R-模同态 ḡ: M ⊗_R N → T，使得对于任意的 (m, n) ∈ M × N，都有 ḡ(m ⊗ n) = f(m, n)。换句话说，任何双线性映射都可以通过张量积“分解”为一个线性映射。这个性质是张量积的本质特征，在同调代数中至关重要。

张量积运算具有一系列良好的性质。例如，它与直和运算可交换：(⊕_i M_i) ⊗_R N ≅ ⊕_i (M_i ⊗_R N)。它也与某些极限操作可交换。此外，对于R-模M，有自然同构 R ⊗_R M ≅ M。

当R是一个域时，模就是向量空间，此时张量积就是向量空间的张量积。如果M的维数是m，N的维数是n，那么 M ⊗_R N 的维数就是 m*n。

张量积是代数学，特别是同调代数和交换代数中的一个基本工具。它被广泛用于定义导函子（如Tor函子）、扩展标量（基变换）、以及研究模的各种性质。

模的张量积 我们先从模的基本概念开始。一个模可以看作是在一个环上的“向量空间”，不过环不一定是一个域。具体来说，如果R是一个环，一个左R-模M是一个交换群（其运算写作加法），并配备了一个标量乘法 R × M → M，满足分配律、结合律等公理。 现在，假设我们有两个R-模，M和N。我们想构造一个新的R-模，它能够以一种“最一般”的方式来反映M和N的双线性关系。这个新的模就是M和N的张量积，记作 M ⊗_ R N。 构造张量积的第一步是考虑一个巨大的自由模。我们取由所有形如 (m, n) 的符号（其中m ∈ M, n ∈ N）生成的自由阿贝尔群（或者说自由Z-模）。我们记这个自由模为 F(M × N)。它的元素是形式有限的线性组合 ∑ a_ i (m_ i, n_ i)，其中 a_ i 是整数。 然而，这个自由模过于“自由”了，它没有捕捉到我们希望的双线性性质。双线性意味着，例如，对于任意的r ∈ R, m ∈ M, n ∈ N，我们应该有 (r m, n) = r (m, n) 以及 (m, r n) = r (m, n)，同时还要保持加法的分配律。 因此，第二步，我们取F(M × N)的一个子模K，由所有以下形式的元素生成： (m1 + m2, n) - (m1, n) - (m2, n) (m, n1 + n2) - (m, n1) - (m, n2) (r m, n) - r (m, n) （对于左R-模M） (m, r n) - r (m, n) （对于右R-模N，或者当R是交换环时，这定义了左模结构） 子模K的选取正是为了强制使得这些双线性关系成立。具体来说，我们要求这些生成元在商模中为零。 最后，第三步，我们定义模M和N（在环R上）的张量积为自由模F(M × N)关于子模K的商模： M ⊗_ R N = F(M × N) / K. 在商模 M ⊗_ R N 中，元素 (m, n) 所在的等价类被记作 m ⊗ n，称为一个纯张量。张量积中的一般元素是有限多个纯张量的线性组合，即形如 ∑ (m_ i ⊗ n_ i) 的元素。重要的是，符号 ⊗ 满足我们强制规定的双线性关系： (m1 + m2) ⊗ n = m1 ⊗ n + m2 ⊗ n m ⊗ (n1 + n2) = m ⊗ n1 + m ⊗ n2 (r m) ⊗ n = m ⊗ (r n) = r* (m ⊗ n) （当R是交换环时） 张量积的核心性质是它的万有性质。它表明，对于任意一个R-模T，以及任意一个双线性映射 f: M × N → T，都存在唯一的R-模同态 ḡ: M ⊗_ R N → T，使得对于任意的 (m, n) ∈ M × N，都有 ḡ(m ⊗ n) = f(m, n)。换句话说，任何双线性映射都可以通过张量积“分解”为一个线性映射。这个性质是张量积的本质特征，在同调代数中至关重要。 张量积运算具有一系列良好的性质。例如，它与直和运算可交换：(⊕_ i M_ i) ⊗_ R N ≅ ⊕_ i (M_ i ⊗_ R N)。它也与某些极限操作可交换。此外，对于R-模M，有自然同构 R ⊗_ R M ≅ M。 当R是一个域时，模就是向量空间，此时张量积就是向量空间的张量积。如果M的维数是m，N的维数是n，那么 M ⊗_ R N 的维数就是 m* n。 张量积是代数学，特别是同调代数和交换代数中的一个基本工具。它被广泛用于定义导函子（如Tor函子）、扩展标量（基变换）、以及研究模的各种性质。