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格林恒等式
格林恒等式是数学物理方程，特别是位势理论和边值问题中一组极为重要的积分恒等式。它们建立了区域内的场（如温度分布、电势）与其边界上的值之间的关系。理解格林恒等式是掌握许多偏微分方程解法的关键。
第一步：前置知识回顾与准备
要理解格林恒等式，我们需要先掌握几个基本概念：
- 标量场：一个在空间区域 Ω 内每个点都定义了一个数值的函数，例如 φ(x, y, z)。可以想象为空间每一点的温度或电势。
- 梯度（∇）：一个向量算子，作用于标量场 φ，得到一个新的向量场 ∇φ。这个向量的方向指向 φ 增加最快的方向，其大小表示增加的速率。例如，温度场的梯度指向温度升高最快的方向。
- 散度（∇·）：一个标量算子，作用于向量场 F，得到一个标量场 ∇·F。它衡量在某一点附近，向量场是“发散”出去（源）还是“汇聚”进来（汇）。例如，热源的散度为正。
- 拉普拉斯算符（∇²）：定义为梯度的散度，即 ∇²φ = ∇·(∇φ)。它作用于标量场，得到另一个标量场，表示该点函数值与其周围平均值差异的度量。在物理中，无源区域的静电场满足 ∇²φ = 0（拉普拉斯方程）。
- 高斯散度定理：这是微积分学中的一个核心定理，它将一个体积分与一个面积分联系起来。定理表述为：对于一个光滑的向量场 F，在区域 Ω 及其边界曲面 ∂Ω 上，有：
\[ \iiint_\Omega (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \]
其中，**n** 是边界曲面 ∂Ω 上指向**外侧**的单位法向量。简单来说，它说明了区域内部所有“源”的总和，等于穿过区域边界的总“通量”。
第二步：第一格林恒等式的推导
第一格林恒等式是其他格林恒等式的基础。我们从两个任意的、在区域 Ω 上足够光滑（即具有连续二阶导数）的标量场 φ 和 ψ 出发。
考虑一个特定的向量场：F = φ ∇ψ。
即，用标量场 φ 乘以另一个标量场 ψ 的梯度，构成一个新的向量场。
现在，我们对这个向量场 F 应用高斯散度定理：
\[\iiint_\Omega (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \]
将 F = φ ∇ψ 代入右边：
\[\iiint_\Omega \nabla \cdot (\phi \nabla \psi) \, dV = \iint_{\partial \Omega} (\phi \nabla \psi) \cdot \mathbf{n} \, dS \]
右边的被积函数 (φ ∇ψ) · n 可以简写为 φ (∂ψ/∂n)，其中 ∂ψ/∂n = ∇ψ · n 是 ψ 在边界外法线方向上的方向导数。
接下来，我们处理左边的体积分。利用向量微积分的乘积法则：∇ · (φ ∇ψ) = (∇φ) · (∇ψ) + φ (∇²ψ)。
- ∇φ · ∇ψ 是两个梯度向量的点积，是一个标量。
- φ (∇²ψ) 是 φ 乘以 ψ 的拉普拉斯算符。
将这个关系代入左边，我们就得到了第一格林恒等式：
\[\iiint_\Omega \left[ (\nabla \phi) \cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi \right] dV = \iint_{\partial \Omega} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} dS \]
这个公式的意义在于，它将区域内部 φ 和 ψ 的梯度、拉普拉斯量与边界上 φ 和 ψ 的法向导数联系了起来。
第三步：第二格林恒等式的推导
第二格林恒等式是第一格林恒等式的一个对称化结果，也是最常用的一种形式。
我们写出第一格林恒等式：
\[\iiint_\Omega \left[ (\nabla \phi) \cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi \right] dV = \iint_{\partial \Omega} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} dS \quad (1) \]
现在，如果我们交换 φ 和 ψ 的角色，即考虑向量场 F = ψ ∇φ，并同样应用高斯定理，我们会得到另一个等式：
\[\iiint_\Omega \left[ (\nabla \psi) \cdot (\nabla \phi) + \psi \nabla^2 \phi \right] dV = \iint_{\partial \Omega} \psi \frac{\partial \phi}{\partial n} dS \quad (2) \]
注意，(1) 式和 (2) 式的体积分中，第一项 (∇φ)·(∇ψ) 和 (∇ψ)·(∇φ) 是相等的（点积满足交换律）。
现在，我们用等式 (1) 减去等式 (2)：
左边相减：
\[ [(\nabla \phi) \cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi] - [(\nabla \psi) \cdot (\nabla \phi) + \psi \nabla^2 \phi] = \phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi \]
右边相减：
\[ \iint \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} dS - \iint \psi \frac{\partial \phi}{\partial n} dS \]
这样就得到了优美的第二格林恒等式：
\[\iiint_\Omega \left( \phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi \right) dV = \iint_{\partial \Omega} \left( \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi}{\partial n} \right) dS \]
这个公式表明，区域内两个场的拉普拉斯算符的加权差，完全由它们在边界上的值和法向导数决定。
第四步：第三格林恒等式与基本解
第三格林恒等式是第二格林恒等式的一个非凡应用，它直接给出了区域内任一点上场 φ 的值的表达式。
我们假设在第二格林恒等式中，函数 ψ 是某个“特殊”的函数。我们选择 ψ 为拉普拉斯方程的基本解。在三维空间中，拉普拉斯方程 ∇²u = 0 的基本解是：
\[G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘) = -\frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \]
它具有关键性质：∇²G(r, r‘) = δ(r - r’)，其中 δ 是狄拉克δ函数。这意味着在点 r‘ 处有一个“点源”。
现在，在第二格林恒等式中，令 ψ = G(r, r‘)，并将积分区域 Ω 挖去一个以 r’ 为心、半径为 ε 的小球 Bε，因为 G 在 r‘ 处是奇异的。然后应用第二格林恒等式于区域 Ω \ Bε，并令 ε → 0。通过仔细计算小球边界上的积分极限，我们最终得到第三格林恒等式（三维情况）：
\[\phi(\mathbf{r}’) = \iiint_\Omega G(\mathbf{r}‘, \mathbf{r}) \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) dV + \iint_{\partial \Omega} \left[ G(\mathbf{r}’， \mathbf{r}) \frac{\partial \phi(\mathbf{r})}{\partial n} - \phi(\mathbf{r}) \frac{\partial G(\mathbf{r}‘, \mathbf{r})}{\partial n} \right] dS \]
这个公式极其强大！它告诉我们，区域 Ω 内任意一点 r‘ 的函数值 φ(r’)，可以由以下三项之和表示：
- φ 在区域内部所有点上的拉普拉斯量（即“源”项）的体积分。
- 边界上 φ 的法向导数乘以基本解的面积的积分。
- 边界上 φ 的值乘以基本解的法向导数的面积的积分的负值。
第五步：格林恒等式的意义与应用
格林恒等式是数学物理中的基石，其应用广泛：
- 唯一性定理：利用格林恒等式可以证明，诸如狄利克雷问题（给定边界值）或诺伊曼问题（给定边界法向导数值）等边值问题的解如果存在，则是唯一的。
- 格林函数法：第三格林恒等式是格林函数法的理论基础。如果我们能找到一个函数 G，使得在边界上满足简单的条件（如 G=0），那么公式中的边界积分项就会简化，从而直接构造出边值问题的解。
- 能量恒等式：在第一格林恒等式中，令 φ = ψ = u，如果 u 满足拉普拉斯方程（∇²u = 0），则公式简化为 ∫|∇u|² dV = ∫ u (∂u/∂n) dS。左边是场的“能量”（如静电能），这表明内部能量完全由边界值决定。
- 互易原理：第二格林恒等式本身具有对称性，它反映了物理系统中一种互易性质，例如在电磁学中。
总结来说，格林恒等式通过高斯散度定理，完美地搭建了描述物理场的偏微分方程（区域内部属性）与边界条件（区域边界属性）之间的桥梁，是分析和求解各类边值问题的强大工具。