可测函数序列的依测度收敛与几乎处处收敛的关系

字数 3751 2025-11-09 16:42:08

可测函数序列的依测度收敛与几乎处处收敛的关系

好的，我们接下来深入探讨实变函数论中一个核心且微妙的话题：可测函数序列的依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系。理解这两种收敛模式的异同，对于掌握现代分析的精髓至关重要。

第一步：明确概念——两种不同的“接近”方式

首先，我们必须清晰地回顾这两个概念的定义。设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_n\}\) 是一列可测函数，\(f\) 是一个可测函数。

几乎处处收敛：
我们说序列 \(\{f_n\}\) 几乎处处收敛 于 \(f\)，记作 \(f_n \to f \quad \text{a.e.}\)。它的定义是：存在一个零测集 \(N \subset X\)（即 \(\mu(N) = 0\)），使得对于每一个 \(x \notin N\)，都有 \(\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)\)。
- 直观理解：这是逐点的收敛，允许在一个“微不足道”（零测）的集合上不收敛。它关注的是函数在每个点上的极限行为。
依测度收敛：
我们说序列 \(\{f_n\}\) 依测度收敛 于 \(f\)，如果对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，有：

\[ \lim_{n\to\infty} \mu(\{ x \in X : |f_n(x) - f(x)| \geq \epsilon \}) = 0. \]

直观理解：这并不保证在每个点上都收敛。它只关心那些使得 \(f_n\) 和 \(f\) 相差很大的点（差距超过 \(\epsilon\)）所构成的集合的“大小”（测度）随着 \(n\) 增大而趋向于零。即使有些点始终不收敛，只要这些“坏点”组成的集合测度足够小，也是依测度收敛。

关键区别：几乎处处收敛是“点态”的，而依测度收敛是“整体”的。一个序列可以依测度收敛但在任何点上都不收敛（后面会举例）。

第二步：从强到弱——几乎处处收敛蕴含依测度收敛的条件

一个很自然的问题是：如果序列几乎处处收敛，它是否也依测度收敛？答案是否定的，但有一个非常重要的附加条件下，答案是肯定的。

反例（无条件时不成立）：
考虑测度空间 \((\mathbb{R}, \mathcal{L}, m)\)，其中 \(m\) 是勒贝格测度。定义函数序列：
\(f_1 = \chi_{[0,1]}, \quad f_2 = \chi_{[0,1/2]}, \quad f_3 = \chi_{[1/2,1]}, \quad f_4 = \chi_{[0,1/4]}, \quad f_5 = \chi_{[1/4,1/2]}, \ldots\)
这是一个在区间 \([0,1]\) 上不断移动、长度趋于0的“滑块”。对于任何 \(x \in [0,1]\)，数列 \(f_n(x)\) 都在 0 和 1 之间无限次振荡，因此不收敛于任何函数。但是，对于任意 \(\epsilon > 0\)（比如取 \(\epsilon = 0.5\)），集合 \(\{x： |f_n(x)-0| \geq \epsilon\}\) 就是 \(f_n\) 的支撑集，其测度随着 \(n \to \infty\) 而趋于 0。所以这个序列依测度收敛于零函数 \(f=0\)，但它在任何点都不收敛，更不用说几乎处处收敛了。
定理（有限测度空间下的关系）：
如果测度空间是有限的，即 \(\mu(X) < \infty\)，那么从几乎处处收敛可以推出依测度收敛。
证明思路（叶戈罗夫定理的应用）：由 \(f_n \to f \quad \text{a.e.}\)，根据叶戈罗夫定理，对任意 \(\delta > 0\)，存在可测集 \(E_\delta\)，使得 \(\mu(E_\delta) < \delta\)，且在 \(X \setminus E_\delta\) 上，\(f_n\) 一致收敛于 \(f\)。一致收敛是极强的条件，它意味着存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时，在 \(X \setminus E_\delta\) 上所有点都有 \(|f_n(x)-f(x)| < \epsilon\)。因此，那些使 \(|f_n-f| \geq \epsilon\) 的点只能位于 \(E_\delta\) 中。所以我们有 \(\mu(\{|f_n-f| \geq \epsilon\}) \leq \mu(E_\delta) < \delta\)。由于 \(\delta\) 可以任意小，这就证明了依测度收敛。

第三步：从弱到强——依测度收敛如何得到几乎处处收敛

既然几乎处处收敛是更强的性质，那么我们能否从依测度收敛这种较弱的关系中“提取”出几乎处处收敛的子序列呢？答案是肯定的，而且这是一个非常有力的工具。

定理（依测度收敛序列的子序列原理）：
如果 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于 \(f\)，那么必然存在一个子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。
- 证明思路（构造性）：

因为 \(f_n \to f\) 依测度，我们可以取一列递减趋于零的正数 \(\epsilon_k\)（如 \(\epsilon_k = 1/2^k\)）。
对每个 \(k\)，根据依测度收敛的定义，存在一个足够大的索引 \(n_k\)，使得集合 \(E_k = \{x： |f_{n_k}(x)-f(x)| \geq \epsilon_k\}\) 的测度非常小，比如 \(\mu(E_k) < 1/2^k\)。
考虑集合 \(F_m = \bigcup_{k=m}^{\infty} E_k\)。它的测度 \(\mu(F_m) \leq \sum_{k=m}^{\infty} 1/2^k = 1/2^{m-1}\)，随着 \(m \to \infty\) 而趋于 0。
现在考虑在 \(F_m\) 的外部，即 \(X \setminus F_m\) 上，对于所有 \(k \geq m\)，都有 \(|f_{n_k}(x)-f(x)| < \epsilon_k\)。因为 \(\epsilon_k \to 0\)，这说明在 \(X \setminus F_m\) 上，子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 一致收敛于 \(f\)。
令 \(F = \bigcap_{m=1}^{\infty} F_m\)，则 \(\mu(F) = 0\)。而在 \(F\) 的补集（即几乎所有点）上，子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 都收敛于 \(f\)。这就证明了 \(f_{n_k} \to f \quad \text{a.e.}\)。

第四步：综合与升华——更深刻的关系（里斯定理）

将上述结果综合起来，我们得到一个关于两种收敛关系的最经典、最完整的刻画，通常称为里斯定理。

里斯定理：
设 \(\{f_n\}\) 是可测函数序列，则 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于 \(f\) 的充分必要条件是：\(\{f_n\}\) 的每一个子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 本身，又包含一个进一步的子序列 \(\{f_{n_{k_j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。
必要性（⇒）：如果 \(f_n \to f\) 依测度，那么任意子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 也依测度收敛于 \(f\)（因为它是原序列的一部分）。然后直接应用上一步的“子序列原理”，这个子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 中就存在一个子子序列 \(\{f_{n_{k_j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。
充分性（⇐）：通常用反证法。假设 \(f_n\) 不依测度收敛于 \(f\)，那么存在某个 \(\epsilon_0 > 0\) 和 \(\delta_0 > 0\)，使得对无穷多个 \(n\)，有 \(\mu(\{|f_n-f| \geq \epsilon_0\}) \geq \delta_0\)。这无穷多个 \(n\) 就构成了一个子序列 \(\{f_{n_k}\}\)。然而，根据条件，这个子序列必须包含一个几乎处处收敛于 \(f\) 的子子序列。再利用“有限测度下几乎处处收敛推出依测度收敛”的思想（需要一些技术处理），可以推导出矛盾。

总结：
几乎处处收敛和依测度收敛是描述函数序列极限行为的两种基本模式。在有限测度空间下，前者强于后者。而依测度收敛的本质在于，它保证了序列的“整体偏差”可以控制，并且总能在其中找到几乎处处收敛的“斑点”（子序列）。里斯定理则用子序列的语言，给出了依测度收敛的一个等价而深刻的特征。理解这些关系，是灵活运用各种收敛概念解决分析问题的基础。

可测函数序列的依测度收敛与几乎处处收敛的关系好的，我们接下来深入探讨实变函数论中一个核心且微妙的话题：可测函数序列的依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系。理解这两种收敛模式的异同，对于掌握现代分析的精髓至关重要。第一步：明确概念——两种不同的“接近”方式首先，我们必须清晰地回顾这两个概念的定义。设 \( (X, \mathcal{F}, \mu) \) 是一个测度空间，\(\{f_ n\}\) 是一列可测函数，\(f\) 是一个可测函数。几乎处处收敛：我们说序列 \(\{f_ n\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)，记作 \(f_ n \to f \quad \text{a.e.}\)。它的定义是：存在一个零测集 \(N \subset X\)（即 \(\mu(N) = 0\)），使得对于每一个 \(x \notin N\)，都有 \(\lim_ {n\to\infty} f_ n(x) = f(x)\)。直观理解：这是逐点的收敛，允许在一个“微不足道”（零测）的集合上不收敛。它关注的是函数在每个点上的极限行为。依测度收敛：我们说序列 \(\{f_ n\}\) 依测度收敛于 \(f\)，如果对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，有： \[ \lim_ {n\to\infty} \mu(\{ x \in X : |f_ n(x) - f(x)| \geq \epsilon \}) = 0. \] 直观理解：这并不保证在每个点上都收敛。它只关心那些使得 \(f_ n\) 和 \(f\) 相差很大的点（差距超过 \(\epsilon\)）所构成的集合的“大小”（测度）随着 \(n\) 增大而趋向于零。即使有些点始终不收敛，只要这些“坏点”组成的集合测度足够小，也是依测度收敛。关键区别：几乎处处收敛是“点态”的，而依测度收敛是“整体”的。一个序列可以依测度收敛但在任何点上都不收敛（后面会举例）。第二步：从强到弱——几乎处处收敛蕴含依测度收敛的条件一个很自然的问题是：如果序列几乎处处收敛，它是否也依测度收敛？答案是否定的，但有一个非常重要的附加条件下，答案是肯定的。反例（无条件时不成立）：考虑测度空间 \((\mathbb{R}, \mathcal{L}, m)\)，其中 \(m\) 是勒贝格测度。定义函数序列： \(f_ 1 = \chi_ {[ 0,1]}, \quad f_ 2 = \chi_ {[ 0,1/2]}, \quad f_ 3 = \chi_ {[ 1/2,1]}, \quad f_ 4 = \chi_ {[ 0,1/4]}, \quad f_ 5 = \chi_ {[ 1/4,1/2 ]}, \ldots\) 这是一个在区间 \([ 0,1]\) 上不断移动、长度趋于0的“滑块”。对于任何 \(x \in [ 0,1]\)，数列 \(f_ n(x)\) 都在 0 和 1 之间无限次振荡，因此不收敛于任何函数。但是，对于任意 \(\epsilon > 0\)（比如取 \(\epsilon = 0.5\)），集合 \(\{x： |f_ n(x)-0| \geq \epsilon\}\) 就是 \(f_ n\) 的支撑集，其测度随着 \(n \to \infty\) 而趋于 0。所以这个序列依测度收敛于零函数 \(f=0\)，但它在任何点都不收敛，更不用说几乎处处收敛了。定理（有限测度空间下的关系）：如果测度空间是有限的，即 \(\mu(X) < \infty\)，那么从几乎处处收敛可以推出依测度收敛。证明思路（叶戈罗夫定理的应用）：由 \(f_ n \to f \quad \text{a.e.}\)，根据叶戈罗夫定理，对任意 \(\delta > 0\)，存在可测集 \(E_ \delta\)，使得 \(\mu(E_ \delta) < \delta\)，且在 \(X \setminus E_ \delta\) 上，\(f_ n\) 一致收敛于 \(f\)。一致收敛是极强的条件，它意味着存在 \(N\)，当 \(n>N\) 时，在 \(X \setminus E_ \delta\) 上所有点都有 \(|f_ n(x)-f(x)| < \epsilon\)。因此，那些使 \(|f_ n-f| \geq \epsilon\) 的点只能位于 \(E_ \delta\) 中。所以我们有 \(\mu(\{|f_ n-f| \geq \epsilon\}) \leq \mu(E_ \delta) < \delta\)。由于 \(\delta\) 可以任意小，这就证明了依测度收敛。第三步：从弱到强——依测度收敛如何得到几乎处处收敛既然几乎处处收敛是更强的性质，那么我们能否从依测度收敛这种较弱的关系中“提取”出几乎处处收敛的子序列呢？答案是肯定的，而且这是一个非常有力的工具。定理（依测度收敛序列的子序列原理）：如果 \(\{f_ n\}\) 依测度收敛于 \(f\)，那么必然存在一个子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。证明思路（构造性）：因为 \(f_ n \to f\) 依测度，我们可以取一列递减趋于零的正数 \(\epsilon_ k\)（如 \(\epsilon_ k = 1/2^k\)）。对每个 \(k\)，根据依测度收敛的定义，存在一个足够大的索引 \(n_ k\)，使得集合 \(E_ k = \{x： |f_ {n_ k}(x)-f(x)| \geq \epsilon_ k\}\) 的测度非常小，比如 \(\mu(E_ k) < 1/2^k\)。考虑集合 \(F_ m = \bigcup_ {k=m}^{\infty} E_ k\)。它的测度 \(\mu(F_ m) \leq \sum_ {k=m}^{\infty} 1/2^k = 1/2^{m-1}\)，随着 \(m \to \infty\) 而趋于 0。现在考虑在 \(F_ m\) 的外部，即 \(X \setminus F_ m\) 上，对于所有 \(k \geq m\)，都有 \(|f_ {n_ k}(x)-f(x)| < \epsilon_ k\)。因为 \(\epsilon_ k \to 0\)，这说明在 \(X \setminus F_ m\) 上，子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 一致收敛于 \(f\)。令 \(F = \bigcap_ {m=1}^{\infty} F_ m\)，则 \(\mu(F) = 0\)。而在 \(F\) 的补集（即几乎所有点）上，子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 都收敛于 \(f\)。这就证明了 \(f_ {n_ k} \to f \quad \text{a.e.}\)。第四步：综合与升华——更深刻的关系（里斯定理）将上述结果综合起来，我们得到一个关于两种收敛关系的最经典、最完整的刻画，通常称为里斯定理。里斯定理：设 \(\{f_ n\}\) 是可测函数序列，则 \(\{f_ n\}\) 依测度收敛于 \(f\) 的充分必要条件是：\(\{f_ n\}\) 的每一个子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 本身，又包含一个进一步的子序列 \(\{f_ {n_ {k_ j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。必要性（⇒）：如果 \(f_ n \to f\) 依测度，那么任意子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 也依测度收敛于 \(f\)（因为它是原序列的一部分）。然后直接应用上一步的“子序列原理”，这个子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 中就存在一个子子序列 \(\{f_ {n_ {k_ j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。充分性（⇐）：通常用反证法。假设 \(f_ n\) 不依测度收敛于 \(f\)，那么存在某个 \(\epsilon_ 0 > 0\) 和 \(\delta_ 0 > 0\)，使得对无穷多个 \(n\)，有 \(\mu(\{|f_ n-f| \geq \epsilon_ 0\}) \geq \delta_ 0\)。这无穷多个 \(n\) 就构成了一个子序列 \(\{f_ {n_ k}\}\)。然而，根据条件，这个子序列必须包含一个几乎处处收敛于 \(f\) 的子子序列。再利用“有限测度下几乎处处收敛推出依测度收敛”的思想（需要一些技术处理），可以推导出矛盾。总结：几乎处处收敛和依测度收敛是描述函数序列极限行为的两种基本模式。在有限测度空间下，前者强于后者。而依测度收敛的本质在于，它保证了序列的“整体偏差”可以控制，并且总能在其中找到几乎处处收敛的“斑点”（子序列）。里斯定理则用子序列的语言，给出了依测度收敛的一个等价而深刻的特征。理解这些关系，是灵活运用各种收敛概念解决分析问题的基础。