可测函数的等度可积性

等度可积性是可测函数序列理论中的一个重要概念，它描述了序列中所有函数在积分意义下的“一致”性质。理解这个概念需要从可积函数的基本性质出发，逐步深入到一致性的要求。

1. 可积函数的基本性质
   设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，函数 \(f: X \to \mathbb{R}\) 是可积的（即 \(\int_X |f| \, d\mu < \infty\)）。根据积分的绝对连续性，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(E\)，只要 \(\mu(E) < \delta\)，就有 \(\int_E |f| \, d\mu < \varepsilon\)。这意味着可积函数在其定义域的小测度集上积分值也很小。

2. 函数序列的等度可积性定义
   一族可积函数 \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) 被称为是等度可积的，如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(E\)，只要 \(\mu(E) < \delta\)，就有 \(\sup_n \int_E |f_n| \, d\mu < \varepsilon\)。换言之，序列中所有函数的积分在足够小的测度集上可以一致地小。

3. 等度可积性的等价刻画
   等度可积性有几种等价的表述方式，常见的一种是：\(\{f_n\}\) 是等度可积的当且仅当以下两条同时成立：

   • （紧性条件）对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(X\) 的可测子集 \(A\) 满足 \(\mu(A) < \infty\)，使得 \(\sup_n \int_{X \setminus A} |f_n| \, d\mu < \varepsilon\)。
   • （一致绝对连续性）对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(E\) 满足 \(\mu(E) < \delta\)，有 \(\sup_n \int_E |f_n| \, d\mu < \varepsilon\)。
     这种刻画将等度可积性分解为“在无穷远一致小”和“在小测度集上一致小”两个方面。

4. 等度可积性与收敛定理
   等度可积性在极限交换中起关键作用。例如，若 \(\{f_n\}\) 等度可积且几乎处处收敛（或依测度收敛）于 \(f\)，则 \(f\) 也可积，且 \(\int f_n \, d\mu \to \int f \, d\mu\)。这是对控制收敛定理的推广，因为控制收敛定理中的控制函数族实际上是等度可积的。

5. 与等度可测性的关系
   等度可积性常与等度可测性（即序列中所有函数的分布函数一致连续）结合使用。在概率测度空间或有限测度空间，等度可积性等价于序列的一致可积性，且与序列在 \(L^1\) 中的相对弱紧性密切相关。