代数簇的正规簇 我们先从代数簇的基本概念开始。一个代数簇（仿射或射影）是由多项式方程组的零点集定义的几何对象。在代数几何中，我们经常研究簇的“奇点”（即不光滑的点）和如何“修复”这些奇点。正规簇是一类具有良好性质的代数簇，它在奇点处表现得相对温和。 第一步：正规环与正规性 一个整环（没有零因子的交换环）R 称为是正规的，如果它在它的分式域中是整闭的。这意味着，如果分式域中的一个元素 x 满足一个以 R 中元素为系数的首一多项式方程（即最高次项系数为 1 的方程），那么这个元素 x 本身必须属于 R。 第二步：从环到簇 现在，我们将环的性质几何化。一个仿射代数簇 V 由它的坐标环 A(V) 决定。我们称仿射簇 V 是正规的，如果它的坐标环 A(V) 是一个正规环。 对于更一般的代数簇（不一定是仿射的），我们称它是正规的，如果它有一个由仿射开子集构成的覆盖，即 V = ∪U_ i，并且每一个仿射开子集 U_ i 的坐标环都是正规环。 第三步：正规簇的几何意义与性质 正规性是一个重要的“温和奇点”条件。 余维数1奇点光滑 ：一个重要的定理（Serre准则）指出，一个正规簇在余维数至少为2的点处是奇异的，但在余维数为1的点处（即类似于曲线上的点）是光滑的。这意味着，正规簇的奇点不会出现在像曲线这样的“边缘”上，而是被“隐藏”在更高维的结构内部，因此相对不那么严重。 函数扩张的唯一性 ：在正规簇上，定义在余维数至少为2的闭子集之外的有理函数，可以唯一地扩展到整个簇上。这个性质使得在正规簇上研究函数变得更容易。 与光滑性的关系 ：所有光滑簇都是正规簇，但反之则不成立。正规簇允许存在奇点，但这些奇点受到上述性质的限制。因此，正规性是比光滑性更弱但依然非常有用的条件。 第四步：正规化过程 对于一个不可约的代数簇 X，总存在一个唯一的正规簇 X̃ 和一个满的、双有理的态射 π: X̃ → X。这个 X̃ 就称为 X 的正规化。这个映射 π 是一个在余维数至少为2的闭子集之上的同构，它“修复”了X在余维数为1的点处的奇点。 例如，考虑一条有尖点的平面曲线。这条曲线本身不是正规的（在尖点处不正规）。它的正规化是一条光滑的曲线，正规化映射将光滑曲线上的点映射到原曲线上，从而“解开”了那个尖点。 总结来说，正规簇是代数几何中一类非常重要的簇，它通过环论中的整闭性来定义，其几何性质使得我们能够有效地处理奇点，并且任何簇都可以通过一个称为正规化的过程与一个正规簇相关联。