\*Gelfand-Mazur定理\* Gelfand-Mazur定理是泛函分析中的一个基本结果，它将复数域在代数结构上的重要性与其拓扑性质联系起来。该定理指出：一个既是赋范可除代数又是巴拿赫代数的代数（即其范数诱导的度量是完备的），并且该代数的乘法单位元e满足||e||=1，那么此代数必然等距同构于复数域ℂ。 1. 预备知识：从数域到赋范代数 要理解这个定理，我们首先需要明确几个基本概念。 域 ：一个可以在其中进行加、减、乘、除（除数不为零）运算的代数系统，如有理数域ℚ、实数域ℝ、复数域ℂ。 可除代数 ：一个在乘法运算下（除了零元）也具有逆元的代数系统。简单来说，它是一个“可以做除法”的代数。复数域ℂ就是一个可除代数。四元数代数也是一个可除代数，但它不满足乘法交换律。 赋范代数 ：一个同时是赋范线性空间和代数的结构，并且其范数满足乘积不等式：对于代数中任意两个元素x, y，有 ||xy|| ≤ ||x|| ||y||。这保证了乘法运算是连续的。 巴拿赫代数 ：一个范数是完备的（即空间中的每个柯西列都收敛）的赋范代数。 2. 定理的核心思想：每个非零元素都有逆元 Gelfand-Mazur定理讨论的是一种非常特殊的代数—— 赋范可除代数 。这意味着在这个代数A中，对于任意一个非零元素a ∈ A (a ≠ 0)，都存在另一个元素a⁻¹ ∈ A，使得 a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e（其中e是乘法单位元）。 这个性质非常强。在一般的巴拿赫代数中（比如连续函数构成的代数），很多非零元素是没有逆元的。而Gelfand-Mazur定理告诉我们，如果一个巴拿赫代数“好”到每个非零元素都有逆元（即可除），那么它的结构实际上就被完全确定了，它只能是复数域。 3. 关键证明步骤：谱集是全集 证明的核心依赖于 谱理论 的概念。 定义 ：设A是一个有单位元e的复巴拿赫代数，a是A中的一个元素。复数λ属于a的 谱集 ，记作σ(a)，当且仅当 (a - λe) 这个元素在A中 没有 逆元。反之，如果 (a - λe) 有逆元，则称λ属于a的 预解集 。 在可除代数中的情况 ：现在，我们的代数A是一个可除代数。这意味着，对于任意一个非零元素a，a⁻¹总是存在的。那么，对于任意一个复数λ，考虑元素 (a - λe)： 如果 a - λe ≠ 0，那么根据A是可除代数，它必然有逆元。 如果 a - λe = 0，那么a本身就等于λe。 唯一的例外是当 a - λe = 0 的时候，但此时我们恰好有 a = λe。这意味着，对于A中的任意元素a， 存在一个唯一的复数λ₀（即令 a - λ₀e = 0 的那个λ₀），使得 (a - λ₀e) 没有逆元 。对于所有其他复数λ ≠ λ₀，元素 (a - λe) 都有逆元。 结论 ：因此，在赋范可除代数A中，任意元素a的谱集σ(a)有且仅有一个点：σ(a) = {λ₀}。这个唯一的λ₀就被称为a的 谱点 。 4. 建立同构：a → λ₀ 现在，我们可以构建从代数A到复数域ℂ的同构映射了。 映射定义 ：定义映射 φ： A → ℂ，使得对于每个a ∈ A，φ(a) = λ₀，其中λ₀是使得 a - λ₀e = 0 成立的那个唯一的复数。换句话说，φ(a)就是那个满足 a = φ(a)e 的复数。 验证同构性质 ： 线性 ：如果 a = α e, b = β e，那么 a+b = (α+β)e，所以 φ(a+b) = α+β = φ(a) + φ(b)。数乘的验证类似。 乘法的同态 ：a b = (αe) (βe) = αβ (e* e) = αβ e，所以 φ(ab) = αβ = φ(a)φ(b)。 保单位元 ：φ(e) = 1，因为 e = 1·e。 双射 ：显然，每个复数λ对应着A中的元素λe，且φ(λe) = λ。所以φ是一个双射。 验证等距 ：我们需要证明 ||a|| = |φ(a)|。因为 a = φ(a)e，所以 ||a|| = |φ(a)| · ||e||。根据定理前提，||e|| = 1，因此 ||a|| = |φ(a)|。这表明映射φ不仅是一个代数同构，还是一个 等距同构 。 5. 定理的意义与重要性 Gelfand-Mazur定理深刻地揭示了复数域ℂ在泛函分析中的“唯一性”地位： 在完备的赋范代数范畴内，复数域是唯一的可除代数 。这个结论是整个交换巴拿赫代数理论和Gelfand表示理论的基石。它意味着，任何试图在保持良好分析性质（完备范数）的前提下对复数域进行“推广”或“扩充”的努力，如果还要求每个非零元可逆，那么最终得到的结构必然与复数域本身是同构的。这一定理因此也被视为 泛函分析中的基本定理之一 。