平行投影

平行投影是几何学中描述将空间中的点、直线或图形沿着一组平行直线方向投射到一个平面上的变换方法。我将从基本概念开始，逐步讲解其数学原理、性质和应用。

1. 基本定义

   • 平行投影是一种投影方式，其中所有投射线（即连接原对象点与投影点的直线）都相互平行。
   • 设有一个投影方向向量 \(\mathbf{d}\)（非零向量）和一个投影平面 \(\Pi\)（不与 \(\mathbf{d}\) 平行）。对于空间中任意点 \(P\)，其平行投影点 \(P'\) 是通过过 \(P\) 且平行于 \(\mathbf{d}\) 的直线与平面 \(\Pi\) 的交点。
   • 例如，在阳光照射下，物体的影子可近似视为平行投影（假设太阳光平行）。

2. 数学表示

   • 设投影平面 \(\Pi\) 由点 \(Q\) 和法向量 \(\mathbf{n}\) 定义（即平面方程 \(\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_Q) = 0\)），投影方向为 \(\mathbf{d}\)（满足 \(\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \neq 0\)，确保投影存在）。
   • 点 \(P\) 的位置向量为 \(\mathbf{r}_P\)，其投影点 \(P'\) 的向量 \(\mathbf{r}_{P'}\) 满足：

\[ \mathbf{r}_{P'} = \mathbf{r}_P + t \mathbf{d} \]

其中参数 \(t\) 由平面方程解出：\(\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}_P + t \mathbf{d} - \mathbf{r}_Q) = 0\)，解得：

\[ t = -\frac{\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q)}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}} \]

• 代入后得投影公式：

\[ \mathbf{r}_{P'} = \mathbf{r}_P - \frac{\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q)}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{d} \]

3. 分类与特例

   • 正交投影：当投影方向 \(\mathbf{d}\) 与投影平面 \(\Pi\) 的法向量 \(\mathbf{n}\) 平行时（即 \(\mathbf{d} \propto \mathbf{n}\)），投影线垂直于平面。这是工程制图中常用的正视图基础。
   • 斜投影：当 \(\mathbf{d}\) 与 \(\Pi\) 不垂直时，投影为斜投影。例如，在轴测图中，物体沿倾斜方向投影以展示三维效果。

4. 几何性质

   • 保线性：平行投影将直线映射为直线（或点，若直线与投影方向平行）。
   • 保平行性：若空间两直线平行，其投影仍平行（除非投影方向与它们平行）。
   • 比例不变性：直线上点的比例关系在投影后保持不变，即若点 \(C\) 在直线 \(AB\) 上满足 \(AC:CB = k\)，则投影后 \(A'C':C'B' = k\)。
   • 不保角度与长度：一般平行投影会改变角度和长度，但正交投影能保持长度比在特定方向上。

5. 应用领域

   • 工程制图：用于创建三视图（正视图、俯视图、侧视图）和轴测图，将三维物体表示为二维图纸。
   • 计算机图形学：在渲染3D场景时，平行投影用于简化计算（如阴影映射、CAD模型显示）。
   • 测绘学：地图绘制中的正射投影（如等高线图）是正交投影的一种。

通过以上步骤，您可以看到平行投影如何从基本定义扩展到实际应用，其数学描述和性质确保了它在几何变换中的实用性。